Если я не ошибаюсь, теория Фреге относительно значения суждений и функций основана на смешении аргументов и индексов. Фреге рассматривал логические суждения как имена, а их аргументы – как индексы этих имен.
5.1. Функции истинности могут организовываться в последовательности. Вот основа теории вероятности.
5.101.Функции истинности заданного числа элементарных суждений всегда можно отразить в схеме следующего вида:
(ИИИИ) (p, q) Тавтология (если p, то p, и если q, то q) (p ⊃ p × q ⊃ q)
(ЛИИИ) (p, q) Словами: Не p и не q вместе. [~ (p × q)]
(ИЛИИ) (p, q) Словами: Если q, то p. [q ⊃ p]
(ИИЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q. [p ⊃ q]
(ИИИЛ) (p, q) Словами: p или q. [p ∨ q]
(ЛЛИИ) (p, q) Словами: Не q. [~q]
(ЛИЛИ) (p, q) Словами: Не p. [~p]
(ЛИИЛ) (p, q) Словами: p или q, но не вместе.
[p × ~q: ∨: q × ~p]
(ИЛЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q, и если q, то p. [p ≡ q]
(ИЛИЛ) (p, q) Словами: p.
(ИИЛЛ) (p, q) Словами: q.
(ЛЛЛИ) (p, q) Словами: Ни p, ни q. [~p × ~q или p | q]
(ЛЛИЛ) (p, q) Словами: p, но не q. [p × ~q]
(ЛИЛЛ) (p, q) Словами: q, но не p. [q × ~p]
(ИЛЛЛ) (p, q) Словами: q и p. [q × p]
(ЛЛЛЛ) (p, q) Противоречие (p и не p, и q и не q).
[p × ~p. q × ~q]
Я назову основаниями истинности суждения те возможности истинности его истинностных аргументов, которые делают суждение истинным.
5.11. Если все основания истинности, общие какому-либо числу суждений, являются и основаниями истинного некоего конкретного суждения, мы говорим, что истинность этого суждения следует из истинности других.
5.12. В частности, истинность суждения «p» следует из истинности суждения «q», если все основания истинности последнего являются и основаниями истинности первого.
5.121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого: p следует из q.
5.122. Если p следует из q, значение «p» содержится в значении «q».
5.123. Если бог создает мир, в котором истинны некие суждения, тем самым он создает и мир, в котором будут истинны все суждения, следующие из первых. При этом он не может создать мир, в котором суждение «p» будет истинно, не создав все его объекты.
5.124. Суждение подтверждает любое другое суждение, которое из него следует.
5.1241. «(p × q)» – суждение, которое подтверждает одновременно «p» и «q».
Два суждения противопоставляются друг другу, если нет осмысленного суждения, подтверждающего оба.
Всякое суждение, противоречащее другому, его отрицает.
5.13. Когда истинность одного суждения следует из истинности других, мы видим это по структуре суждения.
5.131. Если истинность одного суждения следует из истинности других, это находит выражение в отношениях, в которых пропозициональные формы находятся друг с другом; для нас нет необходимости устанавливать эти отношения, объединяя формы в одном суждении. Эти отношения являются внутренними, их существование непосредственно вытекает из существования суждений.
5.1311. Когда мы выводим q из (p ∨ q) и ~p, отношение между пропозициональными формами «p ∨ q» и «~p» скрыто способом обозначения. Но если вместо «p ∨ q» мы запишем, например, «p | q × | | × p | q», а вместо «~p» – «p | p» (p | q = ни p, ни q), тогда внутренняя связь станет очевидной.
(Возможность вывода fa из (x) × fx показывает, что символ «(x) × fx» содержит в себе всеобщность.)
5.132. Если p следует из q, я могу заключить от q к p, вывести p из q.
Природа взаимосвязи проявляется лишь в двух суждениях.
Они сами являются единственными возможными оправданиями вывода.
«Законы вывода», которые должны оправдывать вывод, как в работах Фреге и Рассела, лишены смысла и потому излишни.
5.133. Все выводы делаются априорно.
5.134. Элементарное суждение нельзя вывести из другого элементарного суждения.
5.135. Нет способа из существования одной ситуации сделать вывод о существовании другой, полностью отличной ситуации.
5.136. Не существует причинной связи, оправдывающей подобный вывод.
5.1361. События будущего нельзя вывести из событий настоящего. Суеверие есть вера в подобную причинную связь.
5.1362. Свобода воли состоит в невозможности знания действий, лежащих в будущем. Мы могли бы узнать их, только будь причинность внутренней необходимостью, как в случае логического вывода. Связь между познанием и тем, что известно, есть связь «логической необходимости».
(Суждение «A знает, что есть p» не имеет смысла, если p – тавтология.)
5.1363. Если истинность суждения не следует из того, что она очевидна для нас, тогда эта очевидность никоим образом не оправдывает нашу веру в его истинность.
5.14. Если одно суждение следует из другого, тогда последнее говорит больше первого, а первое – меньше последнего.
5.141. Если p следует из q, а q следует из p, они являются одним и тем же суждением.
5.142. Тавтология следует из всех суждений: она не говорит ничего.
5.143. Противоречие – такой общий фактор суждений, который не является общим ни для одной пары суждений. Тавтология – общий фактор всех суждений, которые не имеют ничего общего друг с другом.
Можно сказать, что противоречие кроется вовне всех суждений, а тавтология – внутри них.
Противоречие есть внешний предел суждений; тавтология – несубстанциальная точка в центре.
5.15. Если Иr есть количество оснований истинности суждения «r» и если Иrs есть число оснований истинности суждения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», тогда мы назовем отношение Иrs: Иr степенью вероятности, которую суждение «r» придает суждению «s».
5.151. Вставим в схему пункта 5.101 индекс Иr в качестве числа «И» в суждении r, а индекс Иrs – в качестве числа «И» в суждении s для столбцов, где присутствуют индексы «И» суждения r. Тогда суждение r придаст суждению s вероятность Иrs: Иr.
5.1511. Не существует особого объекта, присущего вероятностным суждениям.
5.152. Когда у суждений нет общих аргументов истинности, мы называем их независимыми.
