Другие темы в его книге более прозаичны: там можно найти правила вычисления площадей и объемов таких фигур, как прямоугольник, круг, цилиндр, конус и шар. Здесь аль-Хорезми следует тем же путем, каким двигались математики в индийских и еврейских текстах, и ничего похожего на Архимеда или Евклида вы там не найдете. Заканчивается книга более приземленными вещами: подробным разбором исламских правил наследования имущества, требующих разделения его в разных пропорциях; ничего более сложного с математической точки зрения, чем решение линейных уравнений и арифметика, в этом разделе не встречается.
* * *
Важнейшим трудом аль-Хорезми как на момент написания, так и на протяжении еще нескольких столетий была «Книга об индийском счете», давшая нам, как уже отмечалось, слово «алгоритм». Фраза Dixit Algorismi – «Так говорил аль-Хорезми» – была весьма убедительным аргументом в любом математическом диспуте. Учитель сказал: внимайте его словам.
Под индийским счетом подразумеваются, безусловно, ранние варианты десятичной системы записи чисел, в которой любое число может быть записано как последовательность десяти символов – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как видно из названия книги, аль-Хорезми признавал первенство индийских математиков в этом вопросе, но его влияние в средневековой Европе было настолько велико, что такую систему исчисления стали называть арабской (иногда ее называли еще индо-арабской системой, что тоже несправедливо по отношению к индусам). Основной вклад арабского мира в эту систему – изобретение собственных символов для обозначения цифр, похожих на индийские, но все же отличных от них, а также распространение этой системы записи и побуждение к ее использованию. Символы же для обозначения десяти цифр не раз менялись с течением времени, и разные регионы современного мира до сих пор пользуются разными их вариантами.
Сегодня алгоритм – это пошаговая процедура вычисления какой-то конкретной величины или получения какого-то конкретного результата с гарантией того, что по получении нужного результата процесс остановится. «Пробуй все числа в случайном порядке, пока какое-нибудь не подойдет» – не алгоритм: если в результате будет получен ответ, это верная процедура, но с тем же успехом процесс может продолжаться вечно и ни к чему не привести. Чтобы описать один из ранних примеров алгоритма, вспомним, что простое число не имеет других делителей, кроме его самого и единицы. Вот первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое другое натуральное число больше 1 называется составным. К примеру, 6 – составное число, потому что 6 = 2 × 3. Число 1 считается особым и называется единицей в этом контексте. Решето Эратосфена, придуманное около 250 г. до н. э., представляет собой алгоритм нахождения всех простых чисел вплоть до какого-то конкретного предела. Начните с того, что выпишите все положительные целые числа вплоть до заданного предела. Удалите из списка все числа, кратные 2, кроме 2, затем все числа, кратные следующему оставшемуся числу 3, кроме самого числа 3, затем проделайте то же самое для следующего уцелевшего числа 5 и т. д. После числа шагов, не превышающего заданного предела, процесс завершается: в списке остается ровно то, что нужно: все простые числа до заданного предела.
Алгоритмы в современной жизни приобрели принципиальное значение, потому что компьютеры – это машины, исполняющие алгоритмы. Алгоритмы выкладывают в интернет смешные видео с котиками, рассчитывают ваш кредитный рейтинг, решают, какие книги можно попытаться продать вам, осуществляют миллиарды биржевых сделок с валютой и акциями каждую секунду и пытаются украсть у вас пароль от онлайн-банка. Как ни забавно, из всех работ аль-Хорезми подробнее всего об алгоритмах рассказывается не в трактате «Об индийском счете», хотя любой метод арифметического счета, естественно, представляет собой алгоритм. Больше всего алгоритмов в его алгебраической книге, которая вошла в историю тем, что в ней излагаются общие процедуры решения уравнений. Эти процедуры являются алгоритмами, и именно это делает их такими важными.
* * *
Аль-Хорезми писал не только о математике, но также о географии и астрономии. Его «Китаб сурад аль-ард» («Книга описания Земли») 833 г. дополняет предыдущий классический труд на эту тему – «Географию» Птолемея, написанную около 150 г. Это своего рода набор «сделай сам» для атласа известного на тот момент мира: контуры континентов на трех различных типах координатной решетки с указаниями, где на них следует поместить основные города и другие значительные детали. Кроме того, в книге обсуждаются базовые принципы составления карт. В труде аль-Хорезми список локаций расширен до 2402 объектов, а некоторые данные Птолемея были исправлены; в частности, аль-Хорезми снизил завышенную Птолемеем оценку длины Средиземного моря. Кроме того, если Птолемей показывал Атлантический и Индийский океаны как моря, окруженные со всех сторон сушей, то аль-Хорезми не стал их ограничивать.
Книга «Зидж аль-Синдхинд» («Астрономические таблицы Синдхинда»), датируемая примерно 820 г., содержит более сотни астрономических таблиц, взятых в основном из трудов индийских астрономов. Среди них имеются таблицы движения Солнца, Луны и пяти планет, а также таблицы тригонометрических функций. Считается, что аль-Хорезми писал также о сферической тригонометрии, очень важной для навигации. «Рисала фи истихрадж таких аль-яхуд» («Определение эры евреев и об их праздниках») рассказывает о еврейском календаре и анализирует Метонов цикл – 19-летний период, очень близкий к общему кратному солнечного года и лунного месяца. Вследствие этого солнечный и лунный календари, которые со временем постепенно расходятся, вновь почти выравниваются каждые 19 лет. Этот цикл назван в честь Метона Афинского, который описал его в 432 г. до н. э.
Наряду с достижениями математиков древнего Китая (глава 2) и Индии (глава 4) достижения аль-Хорезми служат дополнительным свидетельством того, что в Средние века, когда наука Европы в основном находилась в состоянии застоя, центр научной и математической деятельности переместился на Восток. Со временем, в эпоху Возрождения, Европа пробудилась вновь, как мы увидим в главе 5. Аль-Хорезми проложил новый путь, и математике уже не суждено было вернуться в прежнее состояние.
4. Новатор бесконечности
Мадхава из Сангамаграмы
Ириннараппилли (или Ириннинавалли) Мадхава
Родился: Сангамаграма, Керала, Индия, 1350 г. Умер: Индия, 1425 г.
«Вода урагана Рита весила, как 100 миллионов слонов». Сегодня СМИ часто используют слонов как меру веса, не говоря уже о Бельгии и Уэльсе как мерах площади, олимпийских плавательных бассейнах как мерах объема и лондонских автобусах для измерения длины или высоты. А что вы скажете о таком перечне:
Боги (33), глаза (2), слоны (8), змеи (8), огни (3), качества (3), веды (4), накшатры (27), слоны (8) и руки (2) – мудрые говорят, что такова мера длины окружности, когда диаметр ее равен 900 000 000 000.
Что первым приходит в голову? На самом деле это перевод стихотворения о числе π, написанного около 1400 г. Мадхавой из Сангамаграмы – величайшим, вероятно, средневековым индийским математиком и астрономом. Боги, слоны, змеи и т. п. – это символические обозначения чисел, которые предполагалось рисовать в виде маленьких картинок. Вместе (с конца, по списку) они представляют число
