* * *
Перечисленные мной результаты едва-едва затрагивают громадный объем всего того, что сделал Эйлер в теоретической математике, но не менее плодовит он был также в прикладной математике и в математической физике.
В своей «Механике» 1736 г. он систематизировал и существенно продвинул искусство расчета движения материальной точки. Самым серьезным новшеством было использование вместо геометрии математического анализа, позволившего унифицировать работу с совершенно разными задачами. За этим последовала книга о кораблестроении, которая начиналась с гидростатики и вводила, кроме того, дифференциальные уравнения для движения твердого недеформируемого тела. Эту тему он развил в 1765 г. в «Теории движении твердых тел», где определил систему координат, известную нынче как Эйлеровы углы; он связал ее с тремя осями инерции тела и моментами его инерции относительно этих осей. Оси инерции – это определенные линии, представляющие особые компоненты вращения тела; соответствующий момент определяет количество вращения относительно выбранной оси. В частности, Эйлер решил свои уравнения для Эйлерова волчка – тела с двумя равноправными осями инерции.
В механике жидкостей Эйлер установил фундаментальные уравнения, ныне известные как уравнения Эйлера, которые не потеряли своего значения до сих пор, несмотря на то что в них не учитывается вязкость. Он изучал теорию потенциала с приложениями в области гравитации, электричества, магнетизма и упругости. Его работа со светом способствовала успеху волновой теории, преобладавшей в физике вплоть до появления в 1900 г. квантовой механики. Некоторые его результаты в небесной механике астроном Тобиас Майер использовал при расчете таблиц движения Луны. В 1740 г. Эйлер написал «Метод нахождения кривых линий» (полное название работы намного длиннее приведенного здесь), где положил начало вариационному исчислению. Его задача – поиск кривых и поверхностей, минимизирующих (или максимизирующих) некоторую связанную с ними величину, такую как длина или площадь. Все его книги понятны, элегантны и прекрасно организованы.
Другие труды Эйлера затрагивают такие темы, как музыка, картография и логика – почти не существует областей математики, которые не привлекли бы внимания Эйлера. Лаплас замечательно сформулировал роль Эйлера: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш общий учитель».
9. Повелитель теплоты
Жозеф Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье
Родился: Осер, Франция, 21 марта 1768 г. Умер: Париж, Франция, 16 мая 1830 г.
Шел 1804 г., идеи математической физики буквально витали в воздухе. Иоганн Бернулли уже применил Ньютоновы законы движения в комбинации с Гуковым законом о силе, которую развивает растянутая пружина, к колебаниям скрипичной струны. Его идеи привели Жана ле Рона д’Аламбера к формулировке волнового уравнения. Это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее скорости изменения формы струны как в пространстве, так и во времени, показывает поведение самых разных волн – волн на воде, звуковых волн, других колебаний. Аналогичные уравнения в свое время предлагались для магнетизма, электричества и гравитации. Теперь Жозеф Фурье решил применить эти же методы в другой области физики – к потоку теплоты в теплопроводящей среде. После трех лет исследований он представил длинную записку о распространении тепла. Записка была прочитана в Парижском институте и встретила смешанную реакцию, так что решено было организовать комиссию для ее проверки. Когда по итогам проверки был написан отчет, стало ясно, что члены комиссии недовольны. На то у них было две причины – одна хорошая, другая плохая.
Жан-Батист Био обратил внимание членов комиссии на, как он утверждал, проблему с выводом уравнения для потока теплоты. В частности, Фурье не упомянул одну из его собственных работ 1804 г. Это был плохой повод для недовольства, поскольку статья Био была неверна. Хороший же повод состоял в том, что ключевой шаг в рассуждениях Фурье – преобразование периодической функции в бесконечный ряд синусов и косинусов угла, кратного заданному, – не был проведен с должной строгостью. В самом деле, Эйлер и Бернулли не один год пытались обосновать ту же идею в контексте волнового уравнения. Фурье поспешил пояснить свои рассуждения, но комиссию это не удовлетворило.
Тем не менее задача считалась важной, и Фурье существенно прояснил подходы к ней, так что институт объявил, что призовой задачей на 1811 г. будет распространение тепла в твердом теле. Фурье добавил к своей записке кое-какие дополнительные результаты, в основном об остывании и об излучении тепла, и подал работу на конкурс. Новая комиссия присудила ему приз, но отметила все тот же недостаток, связанный с тригонометрическими рядами:
Способ, посредством которого автор приходит к этим уравнениям, не лишен трудностей, а его анализ с целью их интегрирования по-прежнему оставляет желать лучшего в плане общности и даже строгости.
Как правило, победившая в конкурсе работа сразу же публиковалась, но в данном случае комиссия, сославшись на эти недостатки, отказалась делать это.
В 1817 г. Фурье был избран членом Парижской академии наук. Пять лет спустя умер секретарь математической секции Академии Жан Деламбр. На освободившееся место претендовали Франсуа Араго, Био и Фурье, но Араго снял свою кандидатуру, и Фурье выиграл с подавляющим преимуществом. Вскоре после этого Академия опубликовала «Аналитическую теорию тепла» Фурье – ту самую записку, ставшую победителем конкурса. Выглядит так, будто Фурье оказал на комиссию административное давление, но на самом деле работу в печать отправил еще Деламбр. Тем не менее Фурье, должно быть, получил немалое удовлетворение.
* * *
Отец Фурье был портным, у которого от первого брака осталось трое детей. После смерти жены он женился вновь, и в этом втором браке на свет появилось ни много ни мало 12 детей, из которых Жозеф был девятым. Когда мальчику было девять лет, его мать умерла, а через год умер и отец. Свое образование Жозеф начал в школе, которой заведовал музыкант местного Осерского собора. Мальчик прекрасно проявил себя в изучении французского языка и латыни. В 1780 г., в возрасте 12 лет, он продолжил обучение в местной же Королевской военной школе. У него неплохо шла литература, но к 13 годам начал проявляться и основной талант – математика. Мальчик самостоятельно читал сложные математические тексты: так, меньше чем за год он одолел все шесть томов «Курса математики» Этьена Безу.
В 1787 г. Фурье, намереваясь стать священником, отправился в бенедиктинский монастырь Сен-Бенуа-сюр-Луар, но остался при этом всецело погруженным в математику. Позже он отказался от мысли принять обеты, в 1789 г. покинул монастырь и представил в Академию работу по алгебраическим уравнениям. Через год после этого Фурье работал учителем в своей старой школе. Дело осложнялось еще и тем, что в 1793 г. он стал членом городского революционного комитета; Фурье писал, что можно «питать возвышенную надежду установления среди нас свободного правления, избавленного от королей и церковников», и хотел посвятить себя делу революции. Однако жестокость террора первых дней Французской революции оттолкнула его, и он попытался уйти в отставку. Это оказалось политически невозможным, Фурье был уже неразрывно связан с революцией. Среди революционеров обычны были внутренние межфракционные разборки, ведь у каждого из них было свое представление о том, каким курсом должна идти революция. Фурье оказался вовлеченным в публичную поддержку одной из фракций в Орлеане. В результате – арест и перспектива познакомиться с Мадам Гильотиной. Однако в этот момент был обезглавлен Робеспьер – один из наиболее влиятельных революционеров, – и политическая атмосфера смягчилась. Фурье был освобожден.
