* * *
Академическая репутация Гаусса была высока до небес, и у него не было причин предполагать, что герцог в какой-то момент в будущем прекратит его финансировать, но постоянный оплачиваемый пост тем не менее еще более упрочил бы его положение. Чтобы получить такой пост, полезно было заработать еще и публичную репутацию. Возможность представилась в 1801 г. В первый день нового года астроном Джузеппе Пиацци произвел настоящую сенсацию, открыв «новую планету». Мы сегодня считаем этот объект карликовой планетой, но большую часть времени, миновавшего со времени открытия, он был астероидом. Но, каков бы ни был его статус, называется он Церерой. Астероиды – это сравнительно небольшие тела, орбиты которых располагаются (в основном) между орбитами Марса и Юпитера. На этом расстоянии от Солнца на основании эмпирической закономерности в размерах планетарных орбит (закона Тициуса – Боде) было предсказано существование планеты. Орбиты всех известных на тот момент планет вполне укладывались в этот закон, за исключением того, что между Марсом и Юпитером наблюдался большой промежуток, в котором как раз и могла таиться незамеченная планета.
К июню венгерский знакомец Гаусса, астроном и барон Франц Ксавер фон Цах, опубликовал результаты наблюдений Цереры. Однако Пиацци в начале года сумел пронаблюдать новооткрытое небесное тело лишь на небольшом участке его орбиты. Когда объект исчез из виду, скрывшись в сиянии Солнца, астрономы встревожились, что не смогут отыскать его вновь. Гаусс придумал новый метод получения точной орбиты на основании небольшого числа наблюдений, и Цах опубликовал предсказание Гаусса вместе с несколькими другими предсказаниями; каждый автор предсказывал что-то свое, совпадений не было. В декабре Цах обнаружил потерянную Цереру почти точно в той точке, где, по предсказанию Гаусса, она должна была находиться. Это достижение окончательно закрепило репутацию Гаусса как математического маэстро, и вознаграждением для него стало назначение в 1807 г. на пост директора Гёттингенской обсерватории.
К тому моменту Гаусс был женат на Иоганне Остгоф, но в 1809 г. она умерла, дав жизнь их второму сыну, который тоже вскоре умер. Гаусс был подавлен этой семейной трагедией, но продолжал заниматься своей математикой. Может быть, математика позволяла ему отвлечься и тем самым помогала справиться с горем. Он расширил свое исследование, связанное с орбитой Цереры, и создал на его основе общую теорию небесной механики: движения звезд, планет и их спутников. В 1809 г. он опубликовал «Теорию движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям». Менее чем через год после смерти Иоганны Гаусс вновь женился – на ее близкой подруге Вильгельмине Минне Вальдек.
* * *
К этому моменту Гаусс уже прочно утвердился в роли лидера немецкой – а значит, и мировой – математики. Его мнение ценилось и всюду встречало уважение; нескольких слов похвалы или критики из его уст было достаточно, чтобы кардинальным образом повлиять на чью-нибудь карьеру. В целом он не злоупотреблял своим влиянием и много делал для поощрения молодых математиков, однако его взгляды были очень консервативными. Гаусс сознательно избегал любых вопросов, которые могли вызвать споры и противоречия; он прорабатывал их для собственного удовольствия, но не публиковал. Иногда такое сочетание приводило к несправедливости. Самый вопиющий пример такого рода связан с неевклидовой геометрией, но эту историю я отложу до следующей главы.
Гаусс оставил после себя широкий спектр работ в самых разных областях математики. Он дал первое строгое доказательство Основной теоремы алгебры о том, что любое полиномиальное уравнение имеет решения в комплексных числах. Он дал строгое определение комплексных чисел как пар действительных чисел, с которыми можно проводить определенные операции. Он доказал фундаментальную теорему комплексного анализа, известную как теорема Коши, потому что Огюстен-Луи Коши не только доказал ее независимо, но и опубликовал доказательство. В действительном анализе можно проинтегрировать некоторую функцию на определенном интервале и получить при этом площадь под соответствующей кривой. В комплексном анализе функцию можно проинтегрировать вдоль некоторой кривой на комплексной плоскости; называется такой интеграл интегралом по контуру. Гаусс и Коши доказали, что если начальные и конечные точки двух контуров совпадают, то значение интеграла по тому и другому контуру зависит только от этих точек, при условии что функция не принимает бесконечных значений ни в какой точке внутри замкнутой кривой, полученной в результате объединения двух контуров. Этот простой результат имеет глубокие следствия для соотношения между комплексной функцией и ее сингулярностями – точками, в которых она принимает бесконечные значения.
Гаусс сделал первые шаги к топологии и ввел понятие коэффициента зацепления – топологического свойства, которое часто можно использовать для доказательства того, что две сцепленные кривые невозможно расцепить при помощи непрерывной деформации. Эту концепцию позже обобщил для более высоких размерностей Пуанкаре (глава 18). Кроме того, это был первый шаг к созданию теории топологии узлов – темы, о которой Гаусс тоже размышлял и которая сегодня имеет свои приложения в квантовой теории поля и строении ДНК-молекулы.
* * *
Как директор Гёттингенской обсерватории Гаусс вынужден был посвящать много времени строительству новой обсерватории, которое завершилось в 1816 г. Не пренебрегал он и математикой: публиковал работы по бесконечным рядам и гипергеометрической функции, статью по численному анализу, кое-какие статистические идеи и работу «Теория притяжения однородного эллипсоида» о гравитационном притяжении сплошного однородного эллипсоида – лучшей аппроксимации для формы планеты, чем шар. В 1818 г. ему было поручено провести геодезическую съемку Ганновера, доработав при этом существующие методики съемки. К 1820-м гг. Гаусс заинтересовался измерением формы Земли. Ранее он доказал теорему, которую назвал Theorema Egregium (Замечательная теорема). Она характеризует форму поверхности независимо от окружающего ее пространства. За эту теорему и за проведенную геодезическую съемку в 1822 г. он был удостоен Копенгагенской премии.
В это время в семейной жизни Гаусса начался сложный период. Его мать постоянно болела, и он перевез ее к себе и поселил в своем доме. Ему предлагали пост в Берлине, и жена хотела, чтобы он согласился на этот пост, но Гаусс не хотел покидать Гёттинген. Затем, в 1831 г., его жена умерла. Побороть горе ему помог приезд физика Вильгельма Вебера. Гаусс был знаком с Вебером уже несколько лет, и они вместе работали над исследованием магнитного поля Земли. Гаусс написал на эту тему три значительные работы, изложил в них фундаментальные результаты в физике магнетизма и определил при помощи своей теории местоположение Южного магнитного полюса. Вместе с Вебером он открыл то, что мы сегодня называем законами Кирхгофа для электрических цепей. Они также построили один из первых работающих электрических телеграфов, способный посылать сообщения более чем на километр.
Когда Вебер покинул Гёттинген, математическая продуктивность Гаусса пошла на спад. Он перенес свою деятельность в финансовый сектор, организовав Вдовий фонд Гёттингенского университета. Опыт, полученный в этом деле, он употребил с пользой – и сделал себе состояние, вкладывая деньги в облигации различных компаний. Тем не менее он продолжал консультировать двух докторантов, Моритца Кантора и Ричарда Дедекинда. Последний позже описал ту спокойную и четкую манеру, в которой Гаусс вел исследовательские дискуссии; сначала участники вместе вырабатывали базовые принципы, затем он формулировал их и записывал на небольшой доске своим элегантным почерком.
