Умер Гаусс очень спокойно, во сне, в 1855 г.
11. Меняя правила
Николай Иванович Лобачевский
Николай Иванович Лобачевский
Родился: Нижний Новгород, Россия, 1 декабря 1792 г. Умер: Казань, Россия, 24 февраля 1856 г.
На протяжении двух с лишним тысяч лет «Начала» Евклида считались совершенным образцом логически выстроенного научного трактата. Начав с нескольких простых допущений, каждое из которых было сформулировано явно, Евклид постепенно, шаг за шагом, выстроил всю сложную конструкцию геометрии. Он начал с геометрии плоскости, а затем перешел к трехмерной геометрии. Логика Евклида была настолько убедительной, что его геометрия рассматривалась не просто как удобное идеализированное математическое представление видимой структуры физического пространства, но как реальное его описание. За исключением сферической геометрии – геометрии сферической поверхности, которая широко используется в навигации как хорошая аппроксимация формы Земли, – среди математиков и других ученых царило мнение о том, что Евклидова геометрия – единственная возможная геометрия и потому именно она определяет структуру физического пространства. Сферическая геометрия – это не другой тип геометрии; это та же самая геометрия, ограниченная пределами сферы, погруженной в Евклидово пространство. Точно так же, как плоская геометрия – это геометрия плоскости в Евклидовом пространстве.
Вся геометрия Евклидова, другой не бывает.
Одним из первых заподозрил, что это чепуха, именно Гаусс, но он, как обычно, не спешил публиковать результаты, считая, что такая публикация разворошит муравейник. Наиболее вероятной реакцией на подобное заявление стали бы непонимающие взгляды и обвинения – и хорошо если в невежестве, а не в безумии. И вообще, осмотрительный первопроходец выбирает те районы джунглей, где никто не будет выкрикивать ему вслед оскорбления с верхушек деревьев.
Николай Иванович Лобачевский оказался более храбрым – а может быть, более безрассудным или более наивным, – чем Гаусс. Вероятно, и то, и другое, и третье. Разработав геометрию, альтернативную Евклидовой, столь же логичную, как и ее знаменитая предшественница, со своей замечательной внутренней красотой, он понял ее значимость и изложил свои мысли в книге «Геометрия», работа над которой была завершена в 1823 г. В 1826 г. он обратился в физико-математическое отделение Казанского университета с просьбой разрешить ему прочитать лекцию по этой теме, и в конечном итоге статья увидела свет в малоизвестном журнале «Казанский вестник». Он также представил статью в престижную Санкт-Петербургскую академию наук, но Михаил Остроградский, специалист по прикладной математике, отверг ее. В 1855 г. Лобачевский, ослепший к тому времени, продиктовал новый текст по неевклидовой геометрии, озаглавленный «Пангеометрия». Сама же «Геометрия» в первоначальном виде была издана в 1909 г., через много лет после смерти ученого.
Замечательные открытия Лобачевского, наряду с открытиями еще более несправедливо отвергнутого математика Яноша Бойяи, сегодня признаны началом гигантской революции в представлениях человечества о геометрии и природе физического пространства. Но такова вечная судьба первопроходцев – не встречать понимания и подвергаться гонениям. Идеи, которые должны были бы, в принципе, привлекать всеобщее внимание своей оригинальностью, обычно сразу же объявляют чепухой, а их создатели нигде не встречают понимания. У них гораздо больше шансов встретить враждебность – вспомните хотя бы теорию эволюции и изменения климата. Мне иногда кажется, что род человеческий недостоин своих великих мыслителей. Когда они пытаются показать нам звезды, предрассудки и недостаток воображения тянут нас всех назад, в грязь.
* * *
В данном случае человечество было едино в своем убеждении: геометрия должна быть Евклидовой. Философы, такие как Иммануил Кант, добирались до невероятных глубин интеллекта, чтобы объяснить, почему это неизбежно. Это убеждение было основано на давней традиции, подкрепленной трудами многих поколений школьников, принужденных осваивать мудреные аргументы Евклида; эти уроки всегда служили своеобразной проверкой памяти. Люди по природе своей склонны ценить знания, которые достаются большим трудом: если геометрия Евклида не есть геометрия реального пространства, то все эти усилия, получается, были потрачены напрасно. Другой причиной была соблазнительная мысль, которую с тех пор окрестили «аргументом к невероятности». Ну конечно, единственно возможная геометрия – Евклидова. Какая же еще?
На риторические вопросы иногда даются риторические ответы, и этот конкретный вопрос, воспринятый всерьез, завел математиков в глухие интеллектуальные дебри. Первоначальной мотивацией служила одна из особенностей трактата «Начала» Евклида, в котором обнаружился недочет. Не ошибка, а всего лишь нечто, казавшееся недостаточно элегантным и в каком-то смысле лишним. Евклид организовал свое изложение геометрии последовательно, в логическом порядке, а начал с простых допущений, которые были сформулированы явно и не доказывались. Все остальное затем выводилось логически из этих допущений, шаг за шагом. По большей части допущения эти были просты и разумны: «все прямые углы равны между собой»
[20], к примеру. Но одно из них было настолько сложным, что выделялось в общем ряду, как белая ворона в стае.
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
[21].
Это утверждение известно как аксиома (или постулат) о параллельных, потому что на самом деле речь здесь идет о параллельных прямых. Если две прямые линии параллельны, они никогда не пересекаются. В данном случае аксиома о параллельных гласит, что сумма внутренних углов в этом случае должна быть равна в точности удвоенному прямому углу – 180°. И наоборот, углы будут именно такими, если прямые параллельны.
Понятие о параллельных прямых фундаментально и очевидно: достаточно взглянуть на линованную бумагу. Представляется самоочевидным, что такие прямые существуют и они, разумеется, никогда не встретятся, потому что расстояние между ними всюду одинаково и, соответственно, не может стать нулевым. Евклид наверняка создал проблему на пустом месте, ведь все так очевидно! Возникло общее ощущение, что должна существовать возможность доказать аксиому о параллельных, используя остальные Евклидовы допущения. Мало того, некоторые (таких людей было несколько) были убеждены, что сделали это, но ни одно из подобных доказательств не выдержало проверки: независимые математики всегда обнаруживали в них ошибку или незамеченное спорное допущение.
Одну из первых попыток разрешить этот вопрос предпринял в XI в. Омар Хайям. Я упоминал его работу, связанную с кубическими уравнениями, но это был ни в коем случае не единственный его взнос в математическую копилку. Его «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» построены на более ранней попытке Хасана ибн аль-Хайсама (в латинизированном варианте Альхазен) доказать аксиому о параллельных. Хайям логически отверг доказательство Ибн аль-Хайсама, как и другие «доказательства», и заменил их рассуждениями, в которых свел аксиому о параллельных к более интуитивно понятному утверждению.
