Тем временем неевклидова геометрия начала потихоньку появляться и в других областях математики, в первую очередь в комплексном анализе, где она связана с преобразованием Мёбиуса, отображающим окружности (и прямые) на окружности (и прямые). Вейерштрасс прочел лекцию на эту тему в 1870 г. Клейн, двигавшийся в том же направлении, уловил суть и обсудил эту идею с Софусом Ли. В 1872 г. он составил важный документ – Эрлангенскую программу, в которой определил геометрию как науку об инвариантах групп преобразований. Такой подход объединил почти все варианты, на которые успела разделиться к тому времени геометрия; основным исключением из этого перечня стала Риманова геометрия для поверхностей непостоянной кривизны, где подходящих групп преобразований просто нет. Пуанкаре зашел еще дальше, предложив, в частности, собственную модель гиперболической геометрии. Пространство в ней представляет собой внутренность круга, а «прямые» линии – дуги окружностей, подходящих к границе круга под прямыми углами.
Позже гиперболическая геометрия стала одним из стимулов к появлению Римановой теории искривленных пространств любой размерности (многообразий), на которой построена теория гравитации Эйнштейна (глава 15). В число ее приложений в современной математике входят комплексный анализ, специальная теория относительности, комбинаторная теория групп и гипотеза (теперь уже теорема) о геометризации Тёрстона в топологии трехмерных многообразий (глава 25).
12. Радикалы и революционеры
Эварист Галуа
Эварист Галуа
Родился: Бур-ля-Рен, Франция, 25 октября 1811 г. Умер: Париж, Франция, 31 мая 1832 г.
4 июня 1832 г. французская газета Le Precursor сообщила о сенсационном, хотя и ни в коем случае не уникальном в своем роде, событии:
Париж, 1 июня. Вчера прискорбная дуэль лишила точные науки молодого человека, который подавал величайшие надежды; в последнее время, однако, его прославленная ранняя зрелость отошла в тень под влиянием его политической деятельности. Молодой Эварист Галуа… дрался с одним из своих старых друзей… не менее известным в политических кругах. Говорят, что причиной схватки стала любовь. В качестве оружия был выбран пистолет, но, поскольку из-за старой дружбы противники были не в состоянии смотреть друг на друга, решать судьбу свою они доверили слепой судьбе. Стреляли они практически в упор; у каждого был пистолет, но лишь один пистолет был заряжен. Галуа был прошит пулей своего противника насквозь; его отвезли в больницу Кошен, где он и умер примерно через два часа. Ему было 22 года. Его противник L. D. чуть моложе.
Ночь перед дуэлью Галуа посвятил краткому изложению на бумаге своих математических исследований, основная часть которых была сосредоточена на использовании особых наборов перестановок, которые он называл «группами», для определения того, может ли некоторое алгебраическое уравнение быть решено в формульном виде. Он описал также связь этой идеи с особыми функциями, известными как эллиптические интегралы. Из результатов его работы прямо следует, что не существует алгебраической формулы для решения обобщенного уравнения пятой степени – вопрос, ставивший математиков в тупик не одно столетие, прежде чем Паоло Руффини опубликовал почти полное, но ужасно длинное доказательство, а Нильс Хенрик Абель получил доказательство попроще.
До сего дня существует несколько мифов об Эваристе Галуа, несмотря на все попытки историков разобраться в его биографии и установить истинный ход событий. Документальные свидетельства обрывочны и иногда противоречивы. К примеру, кто был его противником на дуэли? На газетную статью полагаться не стоит – начать с того, что журналисты даже возраст погибшего называют неправильно, – и многое остается неясным. А вот значимость математики Галуа никаких сомнений не вызывает. Понятие группы перестановок стало одним из первых существенных шагов к теории групп, а она, в свою очередь, оказалась ключом к глубокой математике симметрии; даже в наше время в этой области ведутся серьезные исследования. Группы сегодня играют центральную роль во многих областях математики, не обойтись без них и в математической физике. Они имеют важные приложения в области формирования структур во многих областях физической и биологической науки.
* * *
Отец Эвариста Николя-Габриэль, убежденный республиканец, стал мэром Бур-ля-Рена в 1814 г., после того как Людовик XVIII вновь стал королем. Его мать Аделаида-Мари (урожденная Демант) была хорошо образованной дочерью юридического консультанта. Она изучала религию и классические языки и до 12 лет сама обучала Эвариста дома. Мальчику легко давалась латынь, он заскучал – и нашел утешение в математике. Эварист читал продвинутые работы: «Начала геометрии» Лежандра и оригинальные труды Абеля и Лагранжа о решении полиномиальных уравнений «в радикалах». Этот термин относится к алгебраическим формулам, выражающим решения уравнений через коэффициенты с использованием базовых арифметических операций и извлечения корней второй, третьей и более высоких степеней. Вавилоняне в свое время решали в радикалах квадратные уравнения, а алгебраисты Возрождения делали то же самое с уравнениями третьей и четвертой степеней. Теперь же становилось очевидно, что эти методы выдохлись. Абель в 1824 г. доказал, что обобщенное уравнение пятой степени не может быть решено в радикалах, а в 1826 г. опубликовал развернутое доказательство.
Вопреки совету своего преподавателя математики, Галуа решил сдавать вступительные экзамены в престижную Политехническую школу (École Polytechnique) на год раньше, не потрудившись к ним подготовиться. Неудивительно, что он провалился. В 1829 г. он направил работу по теории уравнений в Парижскую академию, но рукопись затерялась. Галуа воспринял это как намеренное подавление его гения, хотя на самом деле это могло быть всего лишь результатом чьей-то небрежности. Вообще, год тогда выдался очень неудачный. Отец Галуа покончил с собой в результате политического конфликта с деревенским священником, который подделал подпись Николя на каких-то страшных документах. Вскоре после этого Галуа предпринял вторую и последнюю попытку поступить в Политехническую школу – и вновь потерпел неудачу. Вместо этого он поступил в менее престижную Подготовительную школу (École Preparatoire), которая позже была переименована в Нормальную, или Педагогическую, школу (École Normal). Он показывал хорошие успехи в физике и математике, но не в литературе, и окончил Школу в 1829 г. и по естественным наукам, и по словесности. Через несколько месяцев он подал новый вариант работы по уравнениям на конкурс Академии. Фурье, бывший тогда секретарем Академии, взял его рукопись домой, но умер, не успев дать на нее отзыв. Рукопись вновь куда-то делась – и Галуа вновь увидел в этом заговор с целью лишить его заслуженного вознаграждения. Такая позиция прекрасно уживалась с республиканскими взглядами молодого человека и дополнительно укрепляла его решимость участвовать по мере сил в разжигании революции.
Свою возможность принять реальное участие в деле революции Галуа упустил. В 1824 г. Людовика XVIII на престоле сменил Карл X, но к 1830 г. и этот король оказался под угрозой отречения. Чтобы избежать этого, он ввел цензуру прессы, но вызвал своими действиями только народный бунт. После трех дней хаоса был согласован компромиссный кандидат на престол – и королем стал Луи-Филипп, герцог Орлеанский. Но директор Нормальной школы запер на это время своих студентов в стенах школы и никуда их не выпускал. Галуа, как революционеру в душе, это не понравилось, и он написал в школьную газету письмо с яростными личными нападками на директора. Галуа подписал письмо, но редактор напечатал его без подписи, и директор, воспользовавшись этим предлогом, исключил Галуа за написание анонимного письма. Так что молодой человек поступил в артиллерийскую часть Национальной гвардии – милиции, где было полно республиканцев. Вскоре после этого король распустил Национальную гвардию как угрожающую безопасности.
