Поскольку 60/1 = 60 – не простое число, решений в радикалах у такого уравнения быть не может.
На самом деле Галуа не стал записывать доказательства того, что уравнение пятой степени не может быть решено в радикалах. Это уже доказал Абель, и Галуа знал об этом. Вместо этого он разработал обобщенную теорему, характеризующую все уравнения простых степеней, которые могут быть решены в радикалах. Показать, что обобщенное уравнение пятой степени не входит в число этих уравнений, – пустяк для Галуа настолько тривиальный, что он об этом даже не упоминает.
* * *
Значение Галуа для математики определяется не столько теоремами, сколько его методом. Его группа перестановок – сегодня мы называем ее группой Галуа – состоит из всех перестановок корней, сохраняющих алгебраические отношения между ними. В более общем плане, если задан некоторый математический объект, мы можем рассматривать все преобразования – может быть, перестановки, может быть, нечто более геометрическое, к примеру жесткое перемещение, – которые сохраняют его структуру. И совокупность таких преобразований называется группой симметрии объекта. Понятие «группа» здесь определяется одним конкретным свойством групп перестановок Галуа, которое он подчеркивал, но не развил в более общую концепцию. Суть в том, что последовательность двух любых симметричных преобразований всегда дает симметричное преобразование.
В качестве простого геометрического примера возьмем квадрат на плоскости и будем преобразовывать его при помощи различных жестких перемещений. Вы можете сдвигать этот квадрат, вращать его, можете даже перевернуть. При каких движениях из этого набора квадрат остается совершенно неизменным с виду? Сдвиг не годится; центр квадрата при этом перемещается в другое место. Вращать можно, но только на один или несколько прямых углов. Любой другой угол приведет к наклону квадрата, которого прежде не было. Наконец, квадрат можно перевернуть относительно любой из четырех осей: двух диагоналей и прямых, проходящих через центры противоположных сторон. Добавив еще тривиальное преобразование типа «ничего не трогать», получим ровно восемь симметрий.
Проделайте эту же процедуру с правильным пятиугольником – и получите 10 симметрий; для правильного шестиугольника их будет 12 и т. д. Круг имеет бесконечное множество симметрий: поворот на любой угол и переворот относительно любого диаметра. У разных фигур может быть разное число симметрий. Мало того, в игру вступают и более тонкие свойства, чем просто число симметрий, – следует учитывать не только то, сколько имеется симметрий, но и то, как они сочетаются.
Симметрия пронизывает собой все без исключения области математики, от алгебры до теории вероятностей, и занимает центральное положение в математике и теоретической физике. При знакомстве с любым математическим объектом вопрос «Какими симметриями он обладает?» сразу приходит на ум, и ответ на него часто несет в себе массу информации. В физике специальная теория относительности Эйнштейна занимается в основном тем, как ведут себя физические величины под действием преобразований определенной группы симметрий физических законов, известной как группа Лоренца и основанной на философском представлении о том, что законы природы не должны зависеть от того, где и когда их наблюдают. Сегодня все элементарные частицы квантовой механики – электроны, нейтрино, бозоны, глюоны, кварки – классифицируются и объясняются в рамках одной-единственной группы симметрий.
Галуа сделал принципиально важный шаг на пути, который позволил в конечном итоге формализовать симметрию как инвариант группы преобразований. Этот шаг привел к абстрактному определению группы – ключевого понятия в современном подходе в алгебре. Анри Пуанкаре однажды даже сказал, что группы – это и есть, по сути, «вся математика». Конечно, это преувеличение, но преувеличение простительное.
13. Чародейка чисел
Августа Ада Кинг
Августа Ада Кинг-Ноэль, графиня Лавлейс (урожденная Байрон)
Родилась: Пикадилли (ныне Лондон), Англия, 10 декабря 1815 г. Умерла: Мэрилбон, Лондон, 27 ноября 1852 г.
Эта семья не была счастливой.
Поэт лорд Джордж Гордон Байрон был убежден, что вскоре станет гордым отцом «великолепного мальчика», и был горько разочарован, когда его жена Анна Изабелла (урожденная Милбэнк; обычно ее звали Анабеллой) подарила ему девочку. Назвали ее Августа Ада – в честь сводной сестры Байрона Августы (Огасты) Ли. Байрон всегда называл ее Адой.
Через месяц супруги расстались, а еще через четыре месяца Байрон навсегда покинул берега Англии. Леди Байрон получила право опеки над дочерью и отказалась от дальнейших контактов с лордом Байроном, но Ада глядела на вещи шире; когда подросла, девочка стала интересоваться местонахождением и деятельностью отца. Он путешествовал по Европе, провел семь лет в Италии и умер, когда Аде было восемь лет, от болезни, подхваченной во время сражений против Оттоманской империи в ходе войны за независимость Греции. Много позже она попросила: когда умрет, похоронить ее рядом с отцом, и эта просьба, как и полагается, была выполнена.
Анабелла считала Байрона безумцем – его скандальное поведение отчасти оправдывало такую точку зрения. Косвенным образом это способствовало появлению у Ады интереса к математике. Анабелла сама обладала математическим талантом и активно интересовалась этой наукой. Способности Байрона, безусловно, лежали совсем в другой области. В одном из писем жене в 1812 г. он писал:
Я совершенно согласен с тобой и в отношении математики – и должен довольствоваться возможностью восхищаться ею на непостижимой дистанции – всегда добавляя ее к длинному списку моих сожалений, – я знаю, что два и два будет четыре, – и должен был бы к тому же радоваться, доказав это, если бы смог, – хотя должен сказать, что, если бы я мог каким-то образом превратить два и два в пять, это принесло бы мне гораздо большее удовольствие.
Таким образом, изучение математики было в глазах Анабеллы идеальным способом отдалить ребенка от отца. Более того, она верила, что математика тренирует и дисциплинирует ум. К занятиям математикой она добавила музыку, призванную обеспечить юным леди необходимые социальные навыки. Судя по всему, Анабелла, потратив немало усилий на организацию обучения дочери, сама почти не уделяла ей внимания; общалась девочка в основном с бабушкой и няней. В 1816 г. Байрон написал, что пора бы, наверное, Аде «познакомиться еще с одной родственницей», а именно с собственной матерью.
Ада испытала на себе все достоинства и недостатки воспитания, принятого в высших классах английского общества; учили ее последовательно несколько частных наставников. Некая мисс Ламонт заинтересовала девочку географией, которую определенно ставила выше арифметики, так что Анабелле пришлось настоять на замене одного из уроков географии на дополнительную арифметику, а вскоре попросту избавиться от мисс Ламонт. Членов семьи беспокоило, что девочка подвергается излишнему давлению, что она получает слишком много наказаний и слишком мало поощрений. К обучению Ады привлекли преподавателя, учившего в свое время математике саму Анабеллу, – Уильяма Френда, но он был уже стар и давно не следил за положением дел в своей науке. В 1829 г. в доме появился новый учитель – доктор Уильям Кинг, но его математические способности были невелики. Настоящие математики знают, что их предмет – не развлечение для зрителей; нужно заниматься математикой, чтобы по достоинству ее оценивать. Кинг же предпочитал читать о математике. Чтобы обуздать обнаружившуюся у Ады «склонность к спорам», была приглашена Арабелла Лоуренс. Тем временем Ада начала болеть; в частности, она тяжело переболела корью, что надолго задержало ее развитие.
