Вывод из всего этого состоит в том, что алгебра классов подчиняется тем же законам, что и обычная алгебра чисел, и еще странному новому закону x2 = x. В этот момент Буля осеняет очень умная мысль. Единственными числами, подчиняющимися этому закону, являются 0 = 02 и 1 = 12. Он пишет:
Тогда давайте представим себе алгебру, в которой символы x, y, z и т. п. принимают безразлично значения 0 и 1, и только их. Законы, аксиомы и процессы такой алгебры будут идентичны во всем своем объеме с законами, аксиомами и процессами алгебры логики. Одна только разница в интерпретации будет разделять их.
Это загадочное заявление можно интерпретировать как относящееся к функциям f(z, y, z, …), определенным на некотором списке символов, принимающих только значения 0 (ложь) и 1 (истина). Мы сегодня называем их Булевыми функциями. Упоминания заслуживает одна связанная с ними приятная теорема. Если f(x) – функция одного логического аргумента, то Буль доказывает, что
f(x) = f(1) x + f(0) (1 – x).
Более общее уравнение того же типа верно для любого числа аргументов, что приводит к систематическим методам обращения с логическими высказываниями.
Вооружившись этим принципом и другими общими результатами, Буль прорабатывает многочисленные примеры и показывает, как его рассуждения применимы к темам, которые заинтересовали бы читателей того времени. Среди этих тем и «Проявление бытия Бога и его атрибутов» (Demonstration of the being and attributes of God) Сэмюела Кларка – книга, состоящая из серии теорем, доказанных с использованием наблюдаемых фактов и различных «гипотетических принципов, значимость и универсальность которых полагается принимать a priori», и «Этика» Бенедикта Спинозы. При этом целью Буля было показать в точности, какие допущения использованы в выводах, сделанных этими авторами. В этом, возможно, проявились и квазиунитарианские воззрения самого Буля.
* * *
Прежде всякий анализ логики должен был быть словесным, с небольшим количеством символьных обозначений, просто для памяти. Аристотель разбирал силлогизмы – рассуждения примерно следующего содержания:
Все люди смертны.
Сократ – человек.
Следовательно, Сократ смертен –
с вариантами использования слов «все» и «некоторые». Средневековые ученые подразделяли силлогизмы на 24 типа; каждый из этих типов имел мнемоническое название. К примеру, Bocardo относится к силлогизмам вида:
Некоторые свиньи имеют закрученные хвостики.
Все свиньи – млекопитающие.
Следовательно, некоторые млекопитающие имеют закрученные хвостики.
Здесь на формат силлогизма «bOcArdO» указывают гласные; O = «некоторые», A = «все». По такому же принципу названы и другие типы силлогизмов. Но никакой системы записи нотации для логики до Буля никто не предлагал. Обратите внимание: если заменить «некоторые» на «все», получив при этом:
Все свиньи имеют закрученные хвостики.
Некоторые свиньи – млекопитающие.
Следовательно, все млекопитающие имеют закрученные хвостики –
новый силлогизм получится неверным. С другой стороны:
Все свиньи – млекопитающие.
Все млекопитающие имеют закрученные хвостики.
Следовательно, все свиньи имеют закрученные хвостики –
вполне корректное с точки зрения логики рассуждение, хотя в реальности второе из входящих в него утверждений неверно. Мало того, по случайному стечению обстоятельств заключительное утверждение верно – разве что найдется где-нибудь особая порода свиней.
Чтобы объяснить, как его символьные обозначения относятся к классической логике, Буль заново интерпретирует Аристотеля, показывая, корректность или некорректность каждого типа силлогизмов может быть доказана в символьном виде. К примеру, пусть
p = класс всех свиней;
m = класс всех млекопитающих;
c = класс всех существ с закрученными хвостиками.
Тогда последний из приведенных выше силлогизмов переводится на Булев символьный язык в виде p = pm и m = mc, следовательно, p = pm = p (mc) = (pm) c = pc.
В оставшейся части книги прорабатываются аналогичные методы расчета вероятностей, и завершается книга общими рассуждениями о «природе науки и устройстве интеллекта».
* * *
В Корке Буль не был особенно счастлив. В 1850 г., после возвращения с каникул, прекрасно проведенных в Йоркшире, он попросил де Моргана: «Если услышите о каком-нибудь месте в Англии, которое могло бы мне подойти, дайте мне знать, – и заметил: – Я больше не чувствую, что мог бы сделать это место своим домом». Одним из источников раздражения было авторитарное и религиозно-консервативное руководство университета, которое обрушивалось на каждого, кто высказывал несогласие. Совсем недавно профессор современных языков Раймонд де Верикур был уволен за антикатолические замечания, допущенные в написанной им книге. Совет университета под руководством президента университета Роберта Кейна действовал так поспешно, что нарушил устав этого учебного заведения и жалоба де Верикура вернула ему место. Буль сочувствовал де Верикуру, но не лез на рожон. В 1856 г. очередные бесцеремонные действия Кейна, направленные против дяди его жены Джона Райалла, заставили Буля написать ядовитое письмо в местную газету Cork Daily Reporter. Кейн прислал в редакцию длинный ответ, в котором пытался оправдать себя, и Буль отозвался новым письмом. В конце концов правительство начало официальное расследование, обвинило Кейна в том, что тот проводит в колледже недостаточно времени, и сделало выговор обоим участникам дискуссии за то, что они вынесли свои разногласия на публику. Кейн перевез свою семью в Корк, и все успокоилось, хотя с тех пор они с Булем проявляли по отношению друг к другу холодную вежливость.
В 1854 г. Буль всерьез обдумывал возможность занять один из освободившихся постов в Мельбурне (Австралия), но в конце 1855 г. совершенно отказался от этой идеи, когда Мэри Эверест приняла его предложение. Були сняли большой дом с видом на море, неподалеку от недавно открытой железнодорожной линии, чтобы Джорджу было удобнее ездить на работу, хотя однажды он все же попросил колледж перевести часы на 15 минут назад, чтобы дать возможность ему и студентам пользоваться более поздним поездом. Колледж отказал Булю в этой просьбе. Его эксцентричность проявлялась не только в этом: однажды он прибыл на лекцию, раздумывая о какой-то задаче, и ходил туда-обратно по аудитории, продолжая размышлять о ней; студенты сидели рядами на скамьях и чувствовали себя не в силах прервать размышления преподавателя. Проведя таким образом час, он ушел – и пожаловался жене, что «сегодня произошла необычайнейшая вещь. Никто из студентов не явился на мою лекцию».
