* * *
Работа, связанная с многообразием и кривизной, помогла Гауссу сразу же получить представление об уровне таланта и мастерства Римана, но остальное математическое сообщество разобралось в ситуации лишь после того, как он опубликовал свое исследование по абелевым интегралам. Кюммер, Карл Борхардт и Вейерштрасс озвучили свое понимание, выдвинув в 1859 г. Римана на выборах в Берлинскую академию. Одним из заданий, которые ставились перед новыми членами Академии, было представление отчета о своей текущей работе, и Риман не ударил в грязь лицом. Он вновь сменил курс, и представленный им отчет был озаглавлен «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины». В этой работе он предложил гипотезу, теперь носящую его имя, – гипотезу Римана, в комплексном анализе, связанную со статистическим распределением простых чисел. В настоящее время это самая знаменитая нерешенная задача во всей математике.
Простые числа занимают в математике центральное место, но во многих отношениях они просто выводят из себя. Они обладают невероятно важными свойствами, но демонстрируют замечательное отсутствие закономерностей. Глядя на список простых чисел, выстроенных последовательно, трудно предсказать следующее простое число (исключая то, что все простые после 2 нечетные и не должны делиться на маленькие простые числа, такие как 3, 5, 7). Простые числа определены однозначно и единственным образом, но в некоторых отношениях представляются случайными. Статистические закономерности среди них, однако, имеются. Около 1793 г. Гаусс заметил эмпирически, что число простых чисел, не превосходящих произвольное заданное число x, примерно равно x/log x. Он не смог этого доказать, но гипотеза получила известность как теорема о простых числах, поскольку в те дни слово «теорема» было стандартным обозначением для недоказанных утверждений. Вспомните хотя бы Великую теорему Ферма. Когда доказательство наконец появилось, то пришло оно с совершенно неожиданного направления. Простые числа – это дискретные объекты, возникающие в теории чисел. На противоположном конце математического спектра при этом находится комплексный анализ, который имеет дело с непрерывными объектами и пользуется совершенно иными (геометрическими, аналитическими, топологическими) методами. Казалось маловероятным, что между ними может быть какая-то связь, но связь, как оказалось, имеется, и после ее выявления математика изменилась навсегда.
Открытие связующего звена между ними восходит еще к Эйлеру, который в 1837 г., включив, видимо, режим сверхчувственного восприятия формул, заметил, что для любого числа s сумма бесконечного ряда
равна произведению, по всем простым p, суммы ряда
1 + p–s + p–2s + p–3s + … = 1/(1 – p–s).
Доказать это несложно; по существу, достаточно перевести принцип единственности разложения на простые множители на язык степенных рядов. Эйлер рассматривал этот ряд для действительных чисел s, а по большей части даже для целых s. Но он имеет смысл и в том случае, когда s – комплексное число, при соблюдении некоторых технических условий, связанных со сходимостью, и применении фокуса, позволяющего расширить диапазон чисел, для которых все это определено. В новом контексте это называется дзета-функцией и записывается как ζ (z). Когда мощь комплексного анализа начала проявлять себя, было естественно исследовать ряды такого рода при помощи новых инструментов в надежде, что удастся, может быть, обнаружить доказательство теоремы о распределении простых чисел. Риман, большой специалист по комплексному анализу, просто не мог пройти мимо такой возможности.
Перспективность этого подхода впервые проявилась в 1848 г., когда Пафнутий Чебышев, воспользовавшись дзета-функцией (которая тогда еще так не называлась), сумел существенно продвинуться к доказательству теоремы о распределении простых чисел. Риман прояснил роль этой функции в краткой, но проницательной статье 1859 г. Он показал, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции, то есть с решениями уравнения ζ(z) = 0. Кульминацией статьи стала формула, в которой точное число простых чисел, не превосходящих заданной величины x, приравнивалось к сумме значений бесконечного ряда, взятых в нулях дзета-функции. И практически в качестве случайного отступления Риман предположил, что все нули дзета-функции, помимо очевидных – отрицательных целых чисел, лежат на критической линии z = ½ + it.
Это предположение, окажись оно верным, имело бы множество значительных следствий. В частности, из него следует, что различные приближенные формулы с участием простых чисел на самом деле более точны, чем можно доказать в настоящее время. Вообще, диапазон тем, на которые повлияло бы доказательство гипотезы Римана, необъятен. Однако пока для этой гипотезы нет ни доказательства, ни опровержения. Есть кое-какие «экспериментальные» данные: в 1914 г. Годфри Харолд Харди доказал, что на критической линии действительно лежит бесконечное число нулей. В 2001–2005 гг. программа Себастьяна Веденивски ZetaGrid подтвердила, что первые 100 млрд нулей лежат на критической линии. Однако в этой области теории чисел подобный результат не может быть до конца убедительным, поскольку многие правдоподобные, но неверные гипотезы впервые нарушаются очень-очень далеко, на невообразимо гигантских числах. Гипотеза Римана – часть Задачи № 8 в знаменитом Гильбертовом списке 23 великих нерешенных математических задач (глава 19); она же является одной из так называемых Задач тысячелетия, отобранных Институтом Клэя в 2000 г.; объявлено, что за верное решение любой из этих задач будет выплачена премия в один миллион долларов. Вообще, гипотеза Римана – сильный претендент на звание крупнейшей нерешенной задачи во всей математике.
Риман доказал свою точную формулу для числа простых чисел при помощи, помимо прочего, анализа Фурье. Эту формулу можно рассматривать как свидетельство того, что преобразование Фурье переводит множество нулей дзета-функции в множество простых степеней и некоторое количество элементарных множителей. То есть нули дзета-функции управляют нерегулярностями простых чисел. Маркуса дю Сотоя назвать свою книгу «Музыка простых чисел» вдохновила поразительная аналогия. Анализ Фурье помогает разложить сложную звуковую волну на базовые синусоидальные компоненты. Аналогично великолепная симфония простых чисел раскладывается на отдельные «ноты», исполняемые последовательно каждым нулем дзета-функции. Громкость каждой ноты определяется величиной действительной части соответствующего нуля. Таким образом, гипотеза Римана говорит нам, что все нули звучат одинаково громко.
Озарения Римана, позволившие ему глубоко заглянуть в царство дзета-функции, дают ему право именоваться музыкантом простых чисел.
16. Кардинал бесконечных множеств
Георг Кантор
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор
