* * *
До настоящего момента нам могло казаться, что ℵ0 – это всего лишь хитроумный символ для обозначения бесконечности и что все бесконечности одинаковы. Однако следующее открытие взрывает такое предположение. Множество действительных чисел невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел.
Первое доказательство Кантора 1874 г. было нацелено на одну из проблем теории чисел – существование трансцендентных чисел. Алгебраическое число – это число, удовлетворяющее некоторому полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами; к примеру, это число √2. являющееся решением уравнения x2–2 = 0. Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. К примеру, не известно было никакого подобного уравнения, которому удовлетворяли бы числа e и π, и предполагалось, что они трансцендентны; эта гипотеза оказалась верной. Лиувиль доказал существование трансцендентного числа в 1844 г., но пример, который он при этом использовал, был совершенно искусственным. Кантор доказал, что «большинство» действительных чисел трансцендентны; для этого он показал, что множество алгебраических чисел имеет мощность ℵ0, но мощность множества действительных чисел больше, чем ℵ0. В его доказательстве принимается допущение о том, что множество действительных чисел счетно и возможно построение последовательности вложенных интервалов, исключающих каждое действительное число по очереди. Пересечение этих интервалов (можно доказать, что оно не пустое) должно содержать некоторое действительное число, но, каким бы это число ни было, мы его уже исключили.
В 1891 г. он нашел более простое доказательство – знаменитый диагональный метод. Предположим (чтобы затем прийти к противоречию), что действительные числа (для простоты – между 0 и 1) счетны. Тогда можно поставить им во взаимнооднозначное соответствие счетные, то есть натуральные, числа. В десятичной нотации любое соответствие такого рода принимает вид
1 0, a1a2a3a4…
2 0, b1b2b3b4…
3 0, c1c2c3c4…
4 0, d1d2d3d4…
… …
Согласно нашему предположению, любое действительное число найдется где-то в этом списке. А теперь мы построим такое число, которого в этом списке нет. Определим последовательные десятичные знаки, x1, x2, x3… действительного числа x следующим образом:
Если a1 = 0, пусть x1 = 1, в противном случае пусть x1 = 0.
Если b2 = 0, пусть x2 = 1, в противном случае пусть x2 = 0.
Если c3 = 0, пусть x3 = 1, в противном случае пусть x3 = 0.
Если d4 = 0, пусть x4 = 1, в противном случае пусть x4 = 0.
Будем продолжать этот процесс до бесконечности, приравнивая xn либо к 0, либо к 1, так что xn всегда отличается от n-го десятичного знака действительного числа, соответствующего n.
По построению x отличается от любого числа в нашем списке. От первого числа оно отличается в первом знаке, от второго – во втором; в общем, это число отличается от n-го числа в n-м десятичном знаке, а значит, отличается от n-го числа, каким бы оно ни было. Однако мы предполагали, что список существует и что любое действительное число в нем имеется. Это противоречие; получается, что такого списка не существует, следовательно, множество действительных чисел несчетно.
Аналогично строится и другое открытие Кантора, в которое он сам поверил с трудом: что плоскость имеет ту же мощность, что и действительная прямая. Точка на плоскости имеет координаты (x, y), где x и y – действительные числа. Ограничимся, для простоты, единичным квадратом; тогда x и y в десятичной записи выглядят так:
x = 0, x1 x2 x3 x4…
y = 0, y1 y2 y3 y4…
Поставим этой паре в соответствие точку на прямой, в координатах которой десятичные знаки x и y стоят попеременно, вот так:
Поскольку мы можем, глядя на это число, восстановить x и y, отобрав только последовательные цифры на четных или нечетных позициях, такой метод позволяет нам получить взаимно однозначное соответствие между единичным квадратом и единичным отрезком действительной прямой. Несложно расширить этот вывод на всю плоскость и всю числовую прямую. (Необходимо позаботиться о некоторых формальностях, которые я опустил, чтобы разобраться с неоднозначностью десятичного представления числа.)
Был один вопрос, который Кантор никак не мог разрешить ни так, ни этак. Существует ли трансфинитное множество, мощность которого лежала бы строго между ℵ0 и мощностью множества действительных чисел? Кантор считал, что нет; он не смог отыскать такое множество, хотя пробовал на эту роль немало правдоподобных кандидатов. Это предположение получило известность как гипотеза о континууме, или континуум-гипотеза. За дальнейшим ее развитием мы проследим в главе 22.
* * *
На протяжении десяти лет после 1874 г. Кантор все свои усилия сосредоточил на теории множеств; он открыл значение взаимно однозначных соответствий в основании числовой системы и расширил принципы счета на трансфинитные числа. Его работа была настолько оригинальна, что многие современники Кантора были не в состоянии принять ее или поверить в ее значимость. Его математическую карьеру подпортил Кронекер, которому революционные идеи Кантора показались негодными с философской точки зрения. «Целые числа создал Господь Бог, все остальное – дело рук человеческих», – говорил Кронекер.
Кантор, можно сказать, подставился в философском плане, когда недвусмысленно заявил, что теория множеств имеет дело с актуальной бесконечностью, а не с потенциальной бесконечностью Аристотеля. Это некоторое преувеличение, поскольку актуальна эта бесконечность только в концептуальном смысле. В математике, как правило, можно перейти от описания, в котором речь идет, казалось бы, об актуальной бесконечности, к другому описанию, в котором бесконечность уже выглядит чисто потенциальной. Однако переход этот часто кажется надуманным: Кантор был прав, когда говорил, что естественный способ думать о его работе – это рассматривать бесконечность как единое целое, а не как процесс, который хотя и конечен на любом этапе, может продолжаться бесконечно. Непримиримым противником такой позиции был философ Людвиг Витгенштейн. Особенно резко он высказывался о диагональном методе и даже после смерти Кантора продолжал жаловаться на «пагубные подходы теории множеств». Но основная причина, по которой он продолжал громогласно жаловаться, состояла в том, что математики все больше и больше вставали на сторону Кантора и никто из них не обращал внимания на Витгенштейна. Это, наверно, было особенно обидно, потому что самого Витгенштейна очень интересовала философия математики, но, с другой стороны, математики не слишком любят философов, которые упорно твердят, что они, математики, все делают неправильно. Теория множеств работала, а математики в большинстве своем весьма прагматичны, даже в фундаментальных вопросах.
