Предположим, в частности, что сечение представляет собой диск, шар или аналогичную фигуру с бо́льшим числом измерений и что мы можем показать, что образ сечения, полученный в результате преобразования Пуанкаре, укладывается внутрь того же сечения. Тогда мы можем воспользоваться топологической теоремой, известной как теорема Брауэра о неподвижной точке, и заключить, что какая-то неподвижная точка в этой системе должна существовать; это будет означать, что дифференциальное уравнение имеет периодическое решение, проходящее через данное сечение. Пуанкаре предложил целый ряд подобных методик и сформулировал общую гипотезу о долговременном поведении траекторий (решений) для дифференциальных уравнений с двумя переменными. А именно: траектория может сойтись к точке, к замкнутой петле или к гетероклинному циклу – петле, образованной траекториями, которые соединяют между собой конечное число неподвижных точек. Эту гипотезу доказал в 1901 г. Ивар Бендиксон, и результат теперь известен как теорема Пуанкаре – Бендиксона.
* * *
Вывод Пуанкаре о том, что топологические методы позволяют сделать глубокие выводы о решениях дифференциальных уравнений даже в тех случаях, когда формул для этих решений не существует, составляет основу сегодняшнего подхода к нелинейной динамике, которая находит применение едва ли не во всех областях естественных наук. Этот вывод привел Пуанкаре к еще одному эпическому открытию: он открыл хаос, ставший одним из крупнейших триумфов топологической динамики. Контекстом для этого открытия было движение нескольких тел под действием Ньютоновой гравитации – иначе говоря, задача многих тел.
Иоганн Кеплер из наблюдений Марса заключил, что орбита одиночной планеты, обращающейся вокруг Солнца, представляет собой эллипс. Ньютон объяснил этот геометрический факт в рамках своего Закона всемирного тяготения: любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. В принципе, Ньютонов закон предсказывает движение любого числа взаимно притягивающихся тел, таких как планеты Солнечной системы. К несчастью, Закон всемирного тяготения не предсказывает движение тел непосредственно: он позволяет записать дифференциальное уравнение, решение которого дает положение тел в любой момент времени. Ньютон обнаружил, что для двух тел это уравнение решаемо, и результатом решения является Кеплеров эллипс. Но для трех и более тел никаких аккуратных решений подобного рода не просматривалось, и математикам, работавшим в области небесной механики, приходилось прибегать к особым приемам и приближениям.
В 1889 г. исполнилось 60 лет Оскару II, королю Швеции и Норвегии, которые в то время составляли единое государство. В честь юбилея король объявил приз за решение задачи многих тел; тему королю предложил Миттаг-Леффлер. Ответ следовало дать не в виде простой формулы, которой почти наверняка не существовало, но в виде сходящегося бесконечного ряда. Тогда, чтобы решить задачу со сколь угодно высокой точностью, достаточно было бы всего лишь вычислить нужное число членов ряда.
Пуанкаре решил поучаствовать в конкурсе – и выиграл приз, несмотря на то что его записка не решала задачу целиком. Он рассматривал только три тела и при этом считал, что два из них имеют равную массу и обращаются друг вокруг друга в диаметрально противоположных точках окружности, а третье имеет настолько малую массу, что не оказывает никакого действия на два более массивных тела. Его результаты доказывали, что в определенных обстоятельствах решений требуемого типа не существует. Система может иногда вести себя весьма необычным, неправильным образом, и ее геометрия выглядит так, будто кто-то случайно уронил на землю слабо смотанный моток веревки. Пуанкаре описал свое главное геометрическое открытие – как две значимые кривые, определяющие динамику системы, пересекаются одна с другой:
Когда пытаешься изобразить фигуру, которую образуют эти две кривые и бесконечность их пересечений, каждое из которых соответствует дважды асимптотическому решению, эти пересечения образуют своего рода сеть, паутину или бесконечно плотную решетку… Поражает сложность этой фигуры, которую я даже не пытаюсь нарисовать.
Мы сегодня понимаем, что Пуанкаре обнаружил первый важный пример динамического хаоса: существование у детерминистических уравнений решений настолько нерегулярных, что некоторые их аспекты кажутся попросту случайными. Но в то время этот результат – хотя и любопытный – многим представлялся тупиковым.
До недавнего времени то, что я изложил выше, представляло собой официальную историю. Но в 1990-е гг. Институт Миттаг-Леффлера в Швеции посетила историк математики Джун Бэрроу-Грин. Она обнаружила там печатный экземпляр другой версии записки Пуанкаре – и в ней ничего не говорилось о возможном существовании нерегулярных орбит. Оказалось, что на конкурс Пуанкаре подал именно этот вариант записки, но уже после объявления победителя заметил в своей работе какую-то ошибку. Почти весь тираж уже изданной записки был уничтожен, а взамен за счет Пуанкаре был быстро напечатан исправленный вариант. Однако один экземпляр оригинальной записки сохранился в архиве института.
* * *
Возможно, Пуанкаре производит впечатление типичного непрактичного ученого, но на самом деле он до конца жизни сохранил связь с горным делом и в 1881–1885 гг. руководил строительством северной железной дороги в качестве инженера Министерства общественных работ. В 1893 г. его назначили главным инженером Горного корпуса, а в 1910 г. он был повышен до должности генерального инспектора. В Университете Парижа Пуанкаре возглавлял кафедры по многим предметам: механике, математической физике, теории вероятностей и астрономии. В Академию наук он был избран в возрасте всего 32 лет, в 1887 г., за два года до конкурса, объявленного королем Оскаром; в 1906 г. стал президентом Академии. В 1893 г. Пуанкаре работал в Бюро долгот, которое пыталось установить по всему миру единую систему времени и предложило для этого разделить мир на часовые пояса.
Пуанкаре едва не опередил Эйнштейна в разработке специальной теории относительности; он еще в 1905 г. показал, что уравнения Максвелла для электромагнетизма инварианты относительно того, что мы сегодня называем группой преобразований Лоренца, а это подразумевает, что скорость света в движущейся системе отсчета должна быть постоянна. Возможно, главным, что Пуанкаре пропустил, а Эйнштейн заметил, был тот факт, что в физике именно так и обстоит дело. Кроме того, Пуанкаре предложил понятие гравитационной волны, распространяющейся со скоростью света, в плоском пространстве-времени специальной теории относительности. Эксперимент LIGO зарегистрировал такие волны в 2016 г., но к тому моменту наука необратимо сместилась к искривленным вариантам пространства-времени, с которыми имеет дело общая теория относительности.
Пуанкаре умер от эмболии после онкологической операции в 1912 г. и был похоронен в фамильном склепе на кладбище Монпарнас. Его математическая репутация продолжала расти, по мере того как другие ученые развивали предложенные им идеи. Сегодня Пуанкаре считается в математике одним из великих зачинателей – и одним из последних математиков-универсалов, которому удалось охватить своей деятельностью почти весь математический ландшафт своего времени. Его математическое наследие живо и активно до сих пор.
