Представление о том, что математика состоит из непреложных истин, было оставлено в пользу концепции, по которой они представляют собой выводы из явных допущений, сделанные по некоторой определенной системе логики. В этом случае честность требует последовать примеру Евклида и сформулировать эти допущения и логические правила в виде системы явных аксиом. Это метаматематика – применение математических принципов к внутренней логической структуре самой математики. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед в своей книге 1910–1913 гг. Principia Mathematica – название представляло собой вполне сознательную отсылку к Ньютону – первыми проложили этот путь, и после нескольких сотен страниц сумели-таки определить число «один». После этого темп подрос и более продвинутые математические концепции появлялись все быстрее и быстрее, пока, наконец, не стало очевидно, что все остальное можно получить аналогичным образом; после этого авторы сдались. От одной из технических особенностей – теории «типов», введенной для того, чтобы избежать некоторых парадоксов, – позже пришлось отказаться в пользу других структур аксиом для теории множеств, самыми популярными из которых являются системы Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля.
Именно на этом фоне Гильберт попытался завершить логический круг, доказав, что подобная аксиоматическая система логически непротиворечива (никакое доказательство не приводит к противоречию) и полна (любое осмысленное утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть). Первый момент принципиально важен, поскольку в системе, которая не является непротиворечивой, утверждение «два плюс два равно пяти» можно доказать. В самом деле, любое утверждение может быть доказано. Второй шаг отождествляет понятия «верный» и «можно доказать» и «ложный» и «нельзя доказать». Гильберт сосредоточился на аксиоматической системе для арифметики, поскольку в Principia Mathematica все в математике выводилось из нее. Продолжив мысль Кронекера, после того как Бог дал нам целые числа, в остальном человек может разобраться сам. В программе Гильберта была прописана серия шагов, которая, по его мнению, должна была привести к цели, и основывалась она на логической сложности задействованных утверждений; ему даже удалось разобраться в некоторых не слишком сложных случаях. Все это выглядело перспективно.
* * *
Я подозреваю, что Гёдель углядел в этом мероприятии что-то сомнительное с философской точки зрения. По существу, от аксиоматической системы математической логики требовалось продемонстрировать свою собственную непротиворечивость. «Непротиворечивы ли вы?» – «Разумеется, да!» Пауза. «Ну да, ну да… Почему я должен вам верить?» Как бы то ни было, скепсис, из какого бы источника он ни проистекал, заставил его доказать два потрясающих результата, названные его именем: теорему о неполноте и теорему о непротиворечивости.
Вторая из них опирается на первую. Имея в виду, что противоречивая логическая система способна доказать что угодно, можно сделать вывод, что она, вероятно, способна доказать и утверждение «эта система непротиворечива». (Разумеется, она может с тем же успехом доказать утверждение «эта система противоречива», но забудем об этом.) Итак, какую гарантию истинности может предложить подобное доказательство? Никакой. Именно это интуитивное понимание отражено в ответе «ну да, ну да…». У программы Гильберта может быть единственный способ избежать этой ловушки: возможно, утверждение «эта система непротиворечива» не имеет смысла в пределах формальной аксиоматической системы. Безусловно, это утверждение не слишком похоже на арифметику.
Ответом Гёделя было превратить его в арифметику. Любая формальная математическая система построена из символов, и доказательство (или предполагаемое доказательство) некоторого утверждения представляет собой всего лишь строку символов. Символам могут быть присвоены кодовые номера, и строке символов тоже может быть присвоен уникальный численный код. Предложенный Гёделем способ нумерации состоит в том, чтобы превратить строку кодовых чисел abcdef… в единственное число, определяемое перемножением степеней простых чисел:
Чтобы расшифровать это число и превратить его обратно в строку, нужно воспользоваться единственностью разложения на простые множители.
Существуют и другие способы зашифровать символьную строку превращением ее в число: данный способ математически элегантен и притом совершенно непрактичен. Но Гёделю достаточно было того, что он существует.
В виде чисел он предлагал кодировать не только утверждения, но и доказательства, которые представляют собой некоторую последовательность утверждений. Логические правила вывода каждого утверждения из предыдущих накладывают ограничения на то, какие из этих чисел могут соответствовать логически верному доказательству. Так что утверждение «P есть верное доказательство утверждения S» само может рассматриваться как утверждение в арифметике: «Если расшифровать P в последовательность чисел, то последним из них будет число, соответствующее S». Гёделева система нумерации позволяет нам перейти от метаматематического утверждения о существовании некоторого доказательства к арифметическому утверждению о соответствующих числах.
Гёдель хотел проделать этот фокус с фразой «это утверждение ложно». Он не мог сделать это напрямую, поскольку это не арифметическое утверждение. Но его можно сделать арифметическим при помощи Гёделевых чисел, и тогда оно по существу превращается в утверждение «эта теорема не имеет доказательства». Есть еще кое-какие технические фокусы, которые придают всему этому смысл, но описанное выше – самая суть. Предположим, что Гильберт прав и аксиоматическая система арифметики полна. Тогда утверждение «эта теорема не имеет доказательства» либо имеет доказательство, либо нет. В том и другом случае у нас проблемы. Если у него есть доказательство, получаем противоречие. Если доказательства нет, утверждение ложно (мы ведь считаем, что Гильберт прав, помните?), так что доказательство все-таки имеется – еще одно противоречие. Значит, утверждение наше противоречит само себе… а в арифметике имеется теорема, которую невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
Гёдель быстро превратил этот результат в свою теорему о непротиворечивости: если некоторое аксиоматическое описание арифметики непротиворечиво, то доказать его непротиворечивость невозможно. Это тот самый момент «ну да, ну да…» во всей его формальной красе: если бы в один прекрасный момент кто-нибудь нашел вдруг доказательство того, что арифметика непротиворечива, то мы могли бы сразу же сделать вывод о том, что на самом деле это не так.
Некоторое время Гильберт и его последователи надеялись, что теоремы Гёделя всего лишь указывают на техническую неполноценность конкретной аксиоматической системы, введенной в Principia Mathematica. Может быть, этой ловушки сможет избежать какая-нибудь альтернативная система. Но вскоре стало ясно, что та же цепочка рассуждений применима в любой аксиоматической системе, достаточно богатой, чтобы формализовать арифметику. Арифметика изначально неполна. И если она логически непротиворечива, в чем убеждено большинство математиков и что все мы принимаем за рабочую гипотезу, то доказать это невозможно. Одним ударом Гёдель умудрился целиком изменить философские взгляды человечества на математику. Ее истины не могут быть абсолютными, потому что существуют утверждения, истинность или ложность которых лежит вообще вне логической системы.
