Эту загадку вы, скорее всего, разгадали, если додумались вот до этого закона: поскольку каждая костяшка закрывает два соседних квадрата, следовательно, любая костяшка на доске покрывает одну белую и одну черную клетку. Этот закон означает, что разместить костяшки на доске, где белых и черных клеток не поровну, никак не получится. У полной шахматной доски белых и черных клеток одинаковое число, а потому этот закон не возбраняет расстановку костяшек так, чтобы покрыть всю доску. А вот у обрезанной доски при вынутых двух диагонально противоположных уголках тридцать две белые клетки и тридцать черных (или наоборот), и, соответственно, согласно закону, обрезанную доску костяшками домино не обставить никак.
Анналы математики и решение большинства задач вообще в любых областях знания можно рассматривать как постоянную борьбу с бесплодными рамками мышления оружием реструктурирования. Вот вам пример из настоящей математики: каково решение уравнения x2 = – 1? Поскольку квадрат любого числа – число положительное, предложение кому бы то ни было решить эту задачу равносильно вопросу: «У тебя есть два фунта камбалы и морковка. Как будешь варить говяжье рагу?» Долгие века математики считали, что ответа здесь не существует. Но они мыслили в рамках обычной математики – ныне мы называем это «действительные числа».
В XVI веке итальянский математик Рафаэль Бомбелли осознал, что, пусть квадратный корень из – 1 не есть число, которое мы, допустим, можем показать на пальцах, это не означает, что это число бесполезно для нас умозрительно. В конце концов, мы же используем отрицательные числа, а они тоже никак не соответствуют ни пальцам на руках, ни каким бы то ни было другим физическим величинам. Пятьсот лет назад случилась Бомбеллиева великая реструктуризация: давайте воспринимать числа как абстракции, подчиняющиеся правилам, а не как конкретные сущности. Исходя из этого Бомбелли задался вопросом, могут ли существовать те или иные законные математические рамки, в которых возможно существование квадратного корня из – 1, независимо от того, можно ли такими числами считать или измерять что-то вещественное?
[99]
Бомбелли подходил к вопросу так: предположим, такое число в самом деле существует. Ведет ли это к логическому противоречию? Если не ведет, то каковы были бы у этого числа свойства? Ученый обнаружил, что число, удовлетворяющее равенству x2 = – 1, не ведет к логическому противоречию, и успешно выяснил кое-какие прежде неизведанные свойства этого числа. Ныне мы обозначаем число Бомбелли буквой i и называем его мнимым числом.
Мнимые числа теперь преподают на обычных уроках математики. Толковые старшеклассники запросто осваивают то, что большинство серьезных средневековых ученых не могло ни постичь, ни принять, потому что, как и идея увеличенных порций, это противоречило парадигме тогдашней привычной мысли.
Влияние культуры
Истории Уоллерстина и Бомбелли – очень, очень разные, однако обе показывают, что один важный фактор влияния на нашу способность производить новые представления, внешний по отношению к нам, – это фактор наших профессиональных, общественных и культурных норм. Ими могут быть нормы нашей семьи, коллег, страны, этноса, профессиональной среды или даже той или иной компании, на которую мы работаем. Мы склонны считать, что национальная и этническая культуры влияют на индивидуальное мышление сильнее прочих, но если вы знакомы хоть с одним математиком, он, вероятно, мыслит совсем не так, как ваши знакомые юристы, а те, в свою очередь, совсем не так, как повара, бухгалтеры, следователи-оперативники и поэты, с какими вам доводилось общаться, и различия могут быть не менее значимые.
Каким бы ни был источник культуры, ее влияние настолько мощно, что распространяется даже на наше восприятие физических объектов
[100]. Задумаемся над недавними исследованиями, проведенными в Мичиганском университете психологом Синобу Китаямой и его коллегами, – они изучали различия между тем, как американцы европейского и японского происхождения воспринимают простые геометрические фигуры.
Культура для группы есть то же, что личность для индивида. Европейская культура, как обнаружили психологи, подчеркивает ценность личной автономии и буквального мышления, тогда как японская культура более коммунальна и считает важными обстоятельства и контекст. Чтобы разобраться, каковы в таком случае последствия этих различий, в одной серии экспериментов Китаяма показывал своим испытуемым «стандартный» квадрат, нарисованный на листке бумаги, в котором был проведен отрезок прямой длиной ровно в треть высоты квадрата вертикально вниз от верхней грани, как показано на рисунке:
Испытуемым выдали по листку бумаги, на каждом был похожий квадрат. Однако на листках у испытуемых квадрат отличался от стандартного размерами, и у него не было вертикального отрезка, проведенного от верхней грани вниз.
Каждому испытуемому выдали карандаш и попросили воспроизвести вертикальный отрезок прямой, как он нарисован в стандартном квадрате. Кого-то попросили провести линию той же длины, что и в стандартном квадрате, а кого-то – той же пропорции (одна треть по высоте) относительно обрамляющего квадрата. У этих двух заданий есть сущностная разница. В первом человек может не обращать внимания на квадрат, а во втором соотношение квадрата и отрезка – ключевые.
Исследователи замыслили это исследование, сосредоточившись на такой разнице, потому что квадрат – контекст для отрезка, а контекст – элемент, значимый для японской культуры. Китаяма предсказал, что японцы справятся лучше европейцев, если попросить их соблюсти пропорцию, но все будет иначе, если японцев попросить нарисовать отрезок равным по длине; эксперимент показал в точности такие результаты.
Квадраты Китаямы.
Слева: длина отрезка соотносится с исходным рисунком.
Справа: пропорция отрезка соотносится с исходным рисунком
Китаяма в своем исследовании пощупал то, как люди думают, но культурные различия, проникающие так глубоко, что влияют даже на физическое восприятие, наверняка фундаментально влияют и на подходы разных людей к решению задач в пределах, принятых в сообществах этих людей. А потому социологи задались вопросом: влияет ли культура на уровень новаторства в том или ином сообществе? Если да, то сравнительный рейтинг стран относительно новаторства вряд ли меняется со временем и тем самым отражает глубинную культуру общества.
