Объем кубоида
Длина требует одного измерения, площадь – двух перемноженных измерений, а объем – трех. Проще всего вычислять объемы кубоидов
[10], то есть ящиков с прямоугольными стенками. Достаточно перемножить длину, ширину и высоту – и объем получен!
Если вы решите превратить одну из своих спален в огромный аквариум для своего домашнего питомца осьминога, вам будет интересно знать вес того количества воды, которым ее можно заполнить доверху. Сначала нужно рассчитать объем комнаты: при размерах 4 м × 3 м × 2,5 м он будет равен 4 × 3 × 2,5 = 30 м³. Как видите, объем измеряется в м³, или кубических метрах. Объем 30 м³ соответствует количеству воды, которое поместится в 30 кубах с размером стороны 1 м. Как мы знаем из подраздела «Метры, литры и граммы», один кубический метр воды весит 1 тонну, значит, ваша наполненная водой спальня будет весить 30 тонн. Что ж, удачи!
В повседневной жизни, кроме объема кубоида, вам, возможно, еще пригодится умение вычислять объем цилиндра, но для этого сперва следует познакомиться с числом π.
Окружность и π
Граница круга называется окружностью, отрезок между противоположными точками окружности, проходящий через центр круга, – диаметром, а расстояние от центра до окружности – радиусом, и все эти величины связаны между собой посредством числа π. Эта греческая буква называется «пи» и обозначает особое число, которое получится в результате деления длины любой окружности на ее диаметр.
Эта десятичная дробь бесконечна, поэтому нам достаточно запомнить ее как 3,14, или 22/7. Число π нужно для расчета площади круга, а также объемов цилиндра и сферы.
В поисках π
Число π с давних пор занимает людские умы, поскольку его очень сложно точно рассчитать. Древнегреческий математик Архимед начертил близкую к окружности фигуру с 96 миниатюрными сторонами и с ее помощью вычислил, что значение π лежит где-то между 3
и 3
, то есть получил π с точностью до 0,001.
В XVI веке голландский математик Людольф ван Цейлен использовал фигуру с более чем 32 миллиардами сторон, потратив двадцать лет жизни на поиски первых 35 знаков числа π после запятой. Вероятно, он считал, что дальше этого зайти никому не удастся, но сразу после его смерти Исаак Ньютон и другие ученые обнаружили менее сложные способы получения еще большего количества знаков. В наши дни с помощью компьютеров найдены триллионы десятичных знаков π, но даже это лишь капля в море…
Основные формулы для круга таковы.
диаметр = 2 × радиус (обычно записывается как d = 2r)
длина окружности = π × диаметр (c = πd или c = 2πr)
площадь круга = πr²
Помните врезку «Искривление пространства» о кратчайших расстояниях? Если взлететь с Северного полюса и, обогнув Землю, приземлиться на Южном полюсе, расстояние перелета составит 20 000 км. А какой будет длина подземного хода, ведущего с одного полюса на другой через центр Земли?
Нам известно, что 20 000 км – это половина пути вокруг Земли, значит, полная длина окружности составит 2 × 20 000 = 40 000 км. Путь через центр – диаметр d; воспользуемся формулой c = πd. Мы знаем, что π × d = 40 000. Следовательно, d = 40 000 ÷ π = 12 732 км.
Давайте перейдем к более насущным вопросам. Допустим, вы решили засеять травой круглый газон шириной 18 м. Одной упаковки семян хватает на 10 м². Сколько всего понадобится упаковок? Нам нужно вычислить площадь газона, поэтому воспользуемся формулой площадь круга = πr². Мы знаем, что ширина газона составляет 18 м; по сути, это его диаметр. Следовательно, r = 18/2 = 9 м. Теперь можно рассчитать площадь: πr² = π × r × r = π × 9 × 9 = π × 81 = 254 м². Поскольку одной упаковки семян хватает на 10 м², нам понадобится 254 ÷ 10 = 25,4 упаковки.
Цилиндр
Основная формула для расчета объема, куда входит число π, относится к цилиндру. Чтобы узнать его объем, нужно умножить площадь его основания (это круг) на высоту – или число π на квадрат радиуса на высоту.
Предположим, вы зашли в строительный магазин и увидели огромную банку вашей любимой краски цвета подгоревшей яичницы. Вам стало интересно, а сколько краски она вмещает? Так как радиус измерить сложно, измерим ширину основания – получим диаметр 160 мм. Разделим его пополам и узнаем радиус: r = 160 ÷ 2 = 80 мм. Также измерим высоту – она равна 0,3 м.
