Детям в возрасте около двух лет очень нравится считать, выкладывать предметы по множествам и выполнять другие действия, связанные с чувством количества. Дошкольники считают небольшие множества, даже если они состоят из объектов разных типов, разных объектов, действий и звуков. Еще не успев по-настоящему постичь суть счета и измерения, ребенок во многом понимает их логику. Например, он пытается поделить хот-дог поровну, разрезав его и отдав каждому по два кусочка (хотя эти кусочки могут быть разного размера), и возмущается, когда персонаж детской передачи пропускает предмет или считает его два раза, хотя сам он допускает в счете точно такие же ошибки.
Формальная математика – это продолжение математических интуитивных представлений. Арифметика явно выросла из нашего чувства количества, а геометрия – из нашего чувства формы и пространства. Выдающийся математик Саундерс Маклейн выдвинул предположение, что прототипом каждой отрасли математики стал тот или иной ключевой вид человеческой деятельности:
Маклейн предполагает, что «математика начинается с целого ряда видов деятельности человека, высвобождает из них ряд понятий, которые являются универсальными и непроизвольными, а затем формализует эти понятия и их многоаспектные взаимосвязи». Сила математики в том, что системы формальных правил могут «кодифицировать более глубокие и неочевидные свойства различных вторичных видов человеческой деятельности». Все— даже слепой ребенок – инстинктивно знают, что путь по прямой из точки А в точку В, а потом в точку С будет длиннее, чем путь напрямую из точки А в точку С. Мы все также представляем, каким образом линия определяет границу квадрата и как фигуры, располагаясь рядом друг с другом, могут образовывать более крупные фигуры. Однако без помощи математики мы не можем доказать, что квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов, чтобы рассчитать экономию от короткого пути без необходимости проходить по каждой из этих дорог
[376].
Говоря, что школьная математика вытекает из интуитивной математики, мы не имеем в виду, что она вытекает из нее легко. Дэвид Гири высказал предположение, что естественный отбор дал детям некоторые из базовых математических способностей: определять количество предметов в небольших множествах, понимать такие отношения, как «больше, чем» и «меньше, чем», упорядочивать малые числа, складывать и вычитать малые множества, использовать наименования чисел для простого счета, измерения и арифметических действий. Но на этом и всё. Дети, полагает Гири, биологически не предназначены для того, чтобы оперировать наименованиями крупных чисел, крупными множествами, десятичной системой счисления, дробями, выполнять сложение и вычитание столбиком, переносить, занимать десятки, умножать, делить, вычислять корни и степени. Эти навыки формируются медленно, неравномерно или вообще не формируются.
С точки зрения эволюции было бы удивительно, если бы дети располагали механизмами мышления, необходимыми для школьного курса математики. Эти инструменты были изобретены не так давно и только в некоторых культурах, к тому же их появление было слишком локальным и слишком поздним, чтобы отразиться в геноме человека. Источником этих изобретений стало регистрирование и обмен излишками сельского хозяйства в первых сельскохозяйственных цивилизациях. Благодаря развитию официального обучения и письменности (которая и сама по себе является недавним изобретением, не предусмотренным природой), у людей появилась возможность накапливать эти новые знания в течение тысячелетий, объединяя простые математические операции во все более и более сложные. Письменные знаки стали средством вычисления, способным преодолеть ограничения краткосрочной памяти – точно так же, как кремниевые микросхемы в наше время.
Как же человеку с его мышлением, сформированным еще в каменном веке, овладеть сложнейшими математическими инструментами? Первый способ – это настроить модули мышления на работу с объектами, отличными от тех, для которых они предназначались изначально. Как правило, для анализа линий и фигур мы используем формирование изображений и другие компоненты нашего чувства ориентации в пространстве, а для анализа групп объектов – владение числами. Однако чтобы достичь обозначенного Маклейном идеала – высвободить общее из частного (например, вычленить общее понятие количества из такого частного понятия, как количество камней в куче), людям, вероятно, потребовалось применить свое восприятие количества к совокупности, которая на первый взгляд представляется вообще не подходящей для этого. Например, проанализировать линию на песке не с помощью привычных операций с изображениями – постоянного просматривания и смещения, а с помощью отсчета количества воображаемых сегментов от одного ее конца до другого.
Второй способ овладеть математикой – такой же, как способ попасть в Карнеги-холл: практика и еще раз практика. Математические понятия образуются путем соединения старых понятий в новом порядке, который может быть полезен. В то же время старые понятия представляют собой совокупность еще более старых понятий. Каждый такой подузел скреплен ментальными «заклепками», известными нам как фрагментация и автоматизация: обширная практика приводит к тому, что понятия склеиваются в более крупные понятия, а последовательности шагов соединяются в один шаг. Точно так же, как велосипед собирается из рамы и колес, а не из трубок и спиц, а в рецепте говорится, как приготовить соус, а не как взять ложку или как открыть банку, освоение математики заключается в том, чтобы соединить друг с другом операции, доведенные до автоматизма. Учителя высшей математики жалуются, что для студентов этот предмет оказывается слишком сложным не потому, что производные и интегралы – слишком мудреные понятия (ведь на самом деле они представляют собой просто-напросто скорость и накопление), а потому, что невозможно овладеть высшей математикой, если не имеешь навыка выполнения алгебраических операций, а большинство студентов приступают к изучению этого курса, не освоив должным образом алгебру, поэтому им приходится концентрировать на каждом действии всю свою умственную энергию до последней капли. Математика – это беспредельное наращивание информации начиная от самой элементарной ступени счета до десяти.
Эволюционная психология имеет для педагогики значение, которое особенно очевидно в аспекте обучения математике. Американские дети показывают едва ли не худшие результаты во всем индустриально развитом мире по тестам на уровень усвоения математических знаний. Они не рождаются тупицами; проблема в том, что в образовательных учреждениях не задумываются об эволюции. Господствующей философией математического образования в США является конструктивизм – смесь психологии Пиаже с идеологией контркультуры и постмодернизма. Дети должны сами конструировать математические знания в условиях социального предприятия, а подталкивать их к этому должны разногласия относительно значения понятий. Учитель предоставляет им материалы и социальную среду, однако не читает лекций и не направляет обсуждение в нужное русло. Упражнения и практическая отработка приемов – верные способы выработки автоматизма – именуются «механистическими» и считаются губительными для понимания. Как весьма понятно пояснил один педагог, «зона потенциального конструирования специфического математического понятия определяется модификациями понятия, которые могут внести дети в процессе или в результате интерактивной коммуникации в математической среде обучения». Результат, как заявил другой, заключается в том, что «для учащихся становится возможным самим конструировать математические методы, для формирования которых исторически потребовалось несколько тысяч лет»
[377].
