3 × 4ДЕСЯТЬ +
2 × 1ДЕСЯТЬ.
Что равнозначно записи:
31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 10 000ЧЕТЫРЕ +
1 × 1000ЧЕТЫРЕ +
2 × 100ЧЕТЫРЕ +
3 × 10ЧЕТЫРЕ +
2 × 1ЧЕТЫРЕ.
А это то же самое, что и:
31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 44 +
1 × 43 +
2 × 42 +
3 × 41 +
2 × 40.
Если мы выполним вычисления в десятичной системе счисления, то обнаружим, что 31 232ЧЕТЫРЕ — это 878ДЕСЯТЬ.
Теперь мы сделаем еще один прыжок, на этот раз окончательный. Представьте, что мы дельфины и можем использовать для подсчета два плавника. В данном случае мы имеем дело с системой счисления с основанием 2, или двоичной, или, иначе, бинарной (от лат. binary — «двойной», «состоящий из двух частей»). Понятно, что у нас будет только две цифры: 0 и 1.
С нулем и единицей мало что можно сделать, и, чтобы привыкнуть к двоичным числам, требуется практика. Проблема в том, что сразу заканчиваются цифры. Например, на следующем рисунке показано, как дельфин считает на плавниках.
Да, в двоичной системе счисления за 1 следует 10. Это странно, однако это не должно удивлять. Независимо от того, какую систему счисления мы используем, всякий раз, когда у нас заканчиваются отдельные цифры, первое двузначное число всегда 10. В двоичной системе счисления мы считаем:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001…
Эти числа могут показаться большими, но на самом деле это не так. Скорее, двоичные числа очень быстро становятся длинными, а не большими.
Количество голов у людей — 1ДЕСЯТЬ, или 1ДВА.
Количество плавников у дельфинов — 2ДЕСЯТЬ, или 10ДВА.
Количество чайных ложек в столовой ложке — 3ДЕСЯТЬ, или 11ДВА.
Количество сторон у квадрата — 4ДЕСЯТЬ, или 100ДВА.
Количество пальцев на одной человеческой руке — 5ДЕСЯТЬ, или 101ДВА.
Количество конечностей у насекомых — 6ДЕСЯТЬ, или 110ДВА.
Количество дней в неделе — 7ДЕСЯТЬ, или 111ДВА.
Количество музыкантов в октете — 8ДЕСЯТЬ, или 1000ДВА.
Количество планет в Cолнечной системе, включая Плутон, — 9ДЕСЯТЬ, или 1001ДВА.
Количество центнеров в тонне — 10ДЕСЯТЬ, или 1010ДВА.
В двоичном числе, состоящем из большого количества цифр, позиции знаков соответствуют степени двойки.
Таким образом, каждый раз, когда встречаем двоичное число, состоящее из единицы и следующих за ней нулей, мы понимаем, что это число соответствует какой-либо из степеней двойки. Эта степень равна количеству нулей в этом двоичном числе. Вот наша расширенная таблица степеней двойки, демонстрирующая такое правило.
Допустим, у нас есть двоичное число 101101011010. Его можно записать так:
101101011010ДВА = 1 × 2048ДЕСЯТЬ +
0 × 1024ДЕСЯТЬ +
1 × 512ДЕСЯТЬ +
1 × 256ДЕСЯТЬ +
0 × 128ДЕСЯТЬ +
1 × 64ДЕСЯТЬ +
0 × 32ДЕСЯТЬ +
1 × 16ДЕСЯТЬ +
1 × 8ДЕСЯТЬ +
0 × 4ДЕСЯТЬ +
1 × 2ДЕСЯТЬ +
0 × 1ДЕСЯТЬ.
Или:
101101011010ДВА = 1 × 211 +
0 × 210 +
1 × 29 +
1 × 28 +
0 × 27 +
1 × 26 +
0 × 25 +
1 × 24 +
1 × 23 +
0 × 22 +
1 × 21 +
0 × 20.
Если просто сложить все слагаемые в десятичной системе, получим 2048 + 512 + 256 + 64 + 16 + 8 + 2, что составляет 2906ДЕСЯТЬ.
Для более легкого преобразования двоичных чисел в десятичные можно использовать следующую схему.
Эта схема позволяет конвертировать числа, содержащие до восьми двоичных разрядов; ее можно легко расширить. Введите до восьми цифр в восемь верхних полей, по одной цифре в каждый квадрат. Выполните восемь операций умножения и введите их результаты в восемь нижних полей. Сложите числа в этих восьми полях для получения окончательного результата. Этот пример демонстрирует процесс нахождения десятичного эквивалента двоичного числа 10010110.
Преобразовать десятичные числа от 0 до 255 в двоичные не так просто, однако вы можете использовать следующую схему.
Процесс преобразования сложнее, чем кажется, поэтому внимательно следуйте указаниям. Поместите десятичное число (меньшее или равное 255) в верхний левый квадрат. Разделите это число (делимое) на первый делитель (128), как показано на схеме. Поместите целую часть в нижнее поле (левый нижний квадрат), а остаток от деления — в поле справа (второй квадрат в верхнем ряду). Этот первый остаток является делимым, которое будет участвовать в следующей операции деления, где в качестве делителя используется число 64.
Помните, что каждая целая часть будет равна либо 0, либо 1. Если делимое меньше делителя, то целая часть от деления будет равна 0, а остаток — самому делимому. Если делимое больше или равно делителю, то целая часть от деления будет равна 1, а остаток — разности между делимым и делителем. Вот как преобразуется число 150.
Если вам нужно сложить или перемножить два двоичных числа, вероятно, будет легче выполнить вычисления в двоичной системе, не преобразуя числа в десятичные. Это должно понравиться. Представьте, как быстро вы могли бы освоить сложение, если бы потребовалось запомнить только это.
