Сигнал «Выч.» и выходной сигнал сумматора CO (выход для переноса) также подаются на вход вентиля Искл-ИЛИ, который используется для включения лампочки «Переполнение/Исчезновение». Если сигнал «Выч.» равен 0 (выполняется сложение), лампочка будет гореть при выходном сигнале сумматора CO, равном 1. Это означает, что результат сложения превышает 255.
При выполнении вычитания, когда вычитаемое (переключатели B) меньше уменьшаемого (переключатели A), выходной сигнал сумматора CO бывает равен 1. Это нормально и означает, что на последнем этапе необходимо вычесть 100000000. Таким образом, лампа «Переполнение/Исчезновение» горит только тогда, когда выход сумматора CO равен 0, то есть вычитаемое больше уменьшаемого и результат отрицательный. Описанная выше машина не предназначена для отображения отрицательных чисел.
Сейчас вы, вероятно, рады, что спросили: «А как насчет вычитания?»
В этой главе я говорил об отрицательных числах, но все еще не показал, как выглядят отрицательные двоичные числа. Вы можете предположить, что традиционный знак «–» используется с двоичными числами так же, как и с десятичными. Например, число –77 в двоичном формате записывается –1001101. Конечно, вы можете так его записать, однако одна из целей использования двоичных чисел заключается в том, чтобы представлять всё с помощью нулей и единиц, включая такие символы, как «–» перед отрицательным числом.
Можно просто использовать еще один бит для знака «–». Его значение 1 может соответствовать отрицательному числу, а 0 — положительному, и это будет работать, хотя мало что даст. Существует еще одно решение для представления отрицательных чисел, которое также предусматривает простой способ сложения отрицательных и положительных чисел. Недостаток этого метода — необходимость заранее решить, сколько цифр требуется для представления чисел, с которыми мы будем работать.
Давайте подумаем. Преимущество обычного способа представления положительных и отрицательных чисел заключается в том, что они могут иметь бесконечную длину. Мы представляем 0 как точку, от которой в одну сторону в бесконечность уходят положительные числа, а в другую — отрицательные.
… –1 000 000 –999 999 … –3 –2 –1 0 1 2 3 … 999 999 1 000 000 …
Однако представьте, что нам не нужно бесконечное количество чисел: с самого начала известно, что каждое число, которое встретится, будет находиться в определенном диапазоне.
Рассмотрим чековый банковский счет, в котором мы иногда сталкиваемся с отрицательными числами. Предположим, что баланс нашего счета никогда не превышал 500 долларов, и банк установил лимит перерасхода на те же 500 долларов. Это значит, что баланс нашего счета всегда находится в диапазоне от 499 до –500 долларов. При этом мы никогда не кладем на счет более 499 долларов, никогда не выписываем чек на сумму более 500 долларов и имеем дело только с долларами, центы же не учитываем.
Этот набор условий указывает, что при использовании нашего счета мы имеем дело с числами в диапазоне от –500 до 499. Это всего 1000 чисел. Такое ограничение подразумевает, что для представления всех нужных чисел мы должны использовать только три десятичные цифры и обходиться без знака «–». Хитрость в том, что нам не нужны положительные числа от 500 до 999, поскольку мы уже решили, что максимальным положительным числом для нас является 499. Таким образом, трехзначные числа от 500 до 999 фактически можно использовать для представления отрицательных чисел. Вот как это работает.
Вместо –500 используем 500.
Вместо –499 используем 501.
Вместо –498 используем 502.
…
Вместо –2 используем 998.
Вместо –1 используем 999.
Вместо 0 используем 000.
Вместо 1 используем 001.
Вместо 2 используем 002.
…
Вместо 497 используем 497.
Вместо 498 используем 498.
Вместо 499 используем 499.
Другими словами, каждое трехзначное число, которое начинается с цифры 5, 6, 7, 8 или 9, фактически является отрицательным. Вместо того чтобы записывать эти числа как:
–500 –499 –498 … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 … 497 498 499,
запишем их:
500 501 502 … 996 997 998 999 000 001 002 003 004 … 497 498 499.
Обратите внимание: числа идут по кругу. Наименьшее отрицательное число (500) как бы следует за наибольшим положительным числом (499). А число 999 (которое фактически равно –1) на единицу меньше нуля. Если мы прибавим 1 к 999, то в обычных условиях получим 1000. Но поскольку мы имеем дело только с тремя цифрами, в результате будет 000.
Такой способ записи отрицательных чисел называется дополнением до десяти. Чтобы преобразовать трехзначное отрицательное число в дополнение до десяти, вычитаем его из 999 и прибавляем 1. Другими словами, дополнение до десяти — это дополнение до девяти плюс один. Например, чтобы найти дополнение числа –255 до десяти, нужно вычесть его из 999, получив 744, а затем прибавить 1, что в результате даст 745.
Вероятно, вы слышали утверждение, что вычитание — это просто прибавление отрицательных чисел. На что вы, вероятно, отвечали: «Да, но числа все равно приходится вычитать». Используя дополнение до десяти, вы вообще ничего не вычитаете. Все сводится к сложению.
Предположим, у вас на счету 143 доллара. Вы выписываете чек на 78 долларов. Это означает, что вы должны прибавить –78 к 143. Дополнение числа –78 до десяти равно 999 – 078 + 1, то есть 922. Таким образом, ваш баланс теперь составляет 143 + 922, или 65 долларов (без учета переполнения). Если после этого вы выпишете чек на 150 долларов, придется прибавить число –150, дополнение которого до десяти равно 850. Итак, прибавим 850 к предыдущему балансу 065 и получим 915 — новый баланс. Это число фактически эквивалентно –85.
В двоичном формате подобная система называется дополнением до двух. Предположим, что мы работаем с 8-битными числами в диапазоне от 00000000 до 11111111, которые соответствуют десятичным числам от 0 до 255. Если вам требуется использовать отрицательные числа, то каждое 8-битное число, начинающееся с 1, фактически будет отрицательным:
Двоичное число
Десятичное число
10000000
–128
10000001
–127
10000010
–126
10000011
–125
…
…
11111101
–3
11111110
–2
11111111
–1
00000000
0
00000001
1
00000010
2
…
…
01111100
