Если вы твердо решили остановиться на числах с плавающей точкой, но вам недостаточно одинарной точности, попробуйте применить числа с плавающей точкой двойной точности. Числа в этом формате занимают восемь байт памяти, распределенных следующим образом.
1 знаковый бит (s)
11 бит порядка (e)
52 бита дробной значащей части (f)
Смещение порядка равно 1023, или 3FFh, поэтому число в этом формате записывается так:
(–1)s × 1,f × 2е − 1023.
К нулю, бесконечности и значениям NaN применяются правила, аналогичные тем, которые мы рассматривали, когда говорили о числах одинарной точности.
Наименьшее положительное или отрицательное число двойной точности с плавающей точкой следующее:
1,0000000000000000000000000000000000000000000000000000ДВА × 2–1022.
В этом числе после двоичного разделителя следуют 52 нуля. Наибольшее число:
1,1111111111111111111111111111111111111111111111111111ДВА × 21023.
Соответствующие десятичные числа формируют диапазон примерно от 2,2250738585072014 × 10–308 до 1,7976931348623158 × 10308. Число 10308 очень велико, оно представляет единицу с 308 нулями.
Пятидесятитрехбитная значащая часть числа (включая первый неучитываемый бит) приблизительно эквивалентна 16 десятичным знакам. Это уже намного лучше формата с одинарной точностью, однако вероятность того, что какое-то число однажды станет равно другому, по-прежнему существует. Возьмем, к примеру, числа 140 737 488 355 328,00 и 140 737 488 355 328,01. Они оба будут храниться в виде 64-битного числа двойной точности с плавающей точкой:
42E0000000000000h.
В двоичном формате это число выглядит так:
1,0000000000000000000000000000000000000000000000000000ДВА × 247.
Разумеется, разработка формата для хранения в памяти чисел с плавающей точкой является лишь небольшим этапом в процессе фактического использования этих чисел в программах, написанных на языке ассемблера. Если бы вы конструировали компьютер с нуля, сейчас бы возникла проблема создания набора функций для сложения, вычитания, умножения и деления чисел с плавающей точкой. К счастью, эти задачи можно разбить на более мелкие подзадачи, связанные со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, решать которые вы уже научились.
Например, сложение чисел с плавающей точкой сводится к сложению их значащих частей; сложность заключается лишь в порядках. Предположим, вам необходимо выполнить следующую операцию сложения:
(1,1101 × 25) + (1,0010 × 22).
В данном случае нужно сложить числа 11101 и 10010, однако второе число необходимо преобразовать с учетом разницы в значениях порядков. Фактически требуется сложить целые числа 11101000 и 10010. Итоговая сумма составит:
1,1111010 × 25.
Иногда разница в порядках может быть такой большой, что одно из двух чисел даже не повлияет на сумму. Это может произойти, например, при сложении расстояния от Земли до Солнца и радиуса атома водорода.
Перемножение двух чисел с плавающей точкой сводится к перемножению двух значащих частей как обычных целых чисел и сложению двух целочисленных значений порядков. Нормализация значащей части может привести к уменьшению нового значения порядка.
Следующий уровень сложности при использовании чисел с плавающей точкой связан с вычислением квадратных корней, степеней, логарифмов и тригонометрических функций. Однако все эти задачи можно решить с помощью четырех основных операций: сложения, вычитания, умножения и деления.
Например, такая тригонометрическая функция, как синус, вычисляется с помощью разложения в ряд.
Аргумент x должен выражаться в радианах, где 360° — это 2π радиан, восклицательный знак — факториал числа, или произведение всех целых чисел от 1 и до этого числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. В данном случае все сводится к простому умножению. Возведение числителей дробей в степень тоже предполагает умножение. Остальными операциями являются деление, сложение и вычитание. Единственная по-настоящему сложная часть — многоточие в конце выражения, означающее, что это вычисление может продолжаться бесконечно. На практике если вы ограничитесь диапазоном от 0 до π/2 (из которого можно вывести все остальные значения синуса), то сможете избежать лишних вычислений. Вам достаточно десятка слагаемых в этом разложении для получения 53-битных значений двойной точности.
Если учесть, что компьютеры предназначены для того, чтобы облегчать людям жизнь, может показаться, что написание множества подпрограмм для выполнения арифметических операций с плавающей точкой противоречит цели их создания. Однако в этом вся прелесть программного обеспечения. Написанные кем-то подпрограммы для конкретного компьютера могут использоваться другими людьми. Арифметика с плавающей точкой настолько важна для научных и инженерных приложений, что ей традиционно придается огромное значение. На заре компьютерной эры при создании программного обеспечения для нового типа компьютеров написание подпрограмм для выполнения расчетов с плавающей точкой было одной из первоочередных задач.
Целесообразно разработать машинные инструкции специально для выполнения вычислений с плавающей точкой! Очевидно, это легче сказать, чем сделать, однако важность такой задачи трудно переоценить. Если вы сможете реализовать арифметику с плавающей точкой на уровне аппаратного обеспечения, подобно командам умножения и деления в 16-разрядных микропроцессорах, то все вычисления с плавающей точкой будут выполняться компьютером гораздо быстрее.
Первым коммерческим компьютером, в котором вычисления с плавающей точкой могли осуществляться на аппаратном уровне, был IBM 704, выпущенный в 1954 году. Все числа в нем хранились в виде 36-битных значений. Числа с плавающей точкой разбивались на 27-битную значащую часть, 8-битный порядок и однобитный знак. Специальные аппаратные компоненты для расчетов с плавающей точкой могли выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Остальные функции реализовывались в программном обеспечении.
В настольном компьютере аппаратное обеспечение для вычислений с плавающей точкой появилось в 1980 году, когда компания Intel выпустила чип 8087. Интегральные микросхемы такого типа в наши дни называются математическими сопроцессорами, или блоками вычислений с плавающей точкой. Микросхема 8087 была названа сопроцессором, поскольку не могла работать сама по себе. Ее можно было использовать только в сочетании с первыми 16-разрядными микропроцессорами Intel 8086 и 8088.
Сопроцессор 8087 — микросхема с 40 выводами, которая использует многие из тех же сигналов, что и микропроцессоры 8086 и 8088. С помощью этих сигналов микропроцессор и математический сопроцессор взаимодействуют. Когда ЦПУ считывает специальную команду ESC (Escape), сопроцессор перехватывает управление и выполняет следующий машинный код, соответствующий одной из 68 команд для вычисления тригонометрических функций, степеней, логарифмов и т. д. Типы данных основаны на стандарте IEEE. В свое время сопроцессор 8087 считался самой сложной интегральной схемой.
