Чтобы завершить перечень главных изменений, происходящих с базовыми рассуждениями в попытке объяснить природу математики, приведем вердикт по традиционной философии, вынесенный современным логиком и математиком. В 1933 году Рудольф Карнап, позднее присоединившийся к знаменитому Венскому кружку, в своей работе оценил ситуацию следующим образом: «Большинство философов уделяют ей скудное внимание [новой логике, созданной математиками с 1854 года и, особенно, примерно с 1890 года]. Подозрительная сдержанность, с которой они подходят к этой новой логике, немного удивляет.
Математические одеяния, в которые она рядится, действительно пугают, но она побуждает и более глубокую враждебность, которую мы начинаем ясно различать. Недоверие порождено опасностью, которая угрожает позициям старой философии. И действительно, каждая философия, в старом смысле слова, относится ли это к Платону, святому Фоме Аквинскому, Канту, Шеллингу, Гегелю, или к появившимся новым «метафизикам сущего», или к «диалектической философии», подвергается неумолимой критике со стороны новой логики как доктрины, не ложной по содержанию, но логически несостоятельной, а потому лишенной смысла».
Достаточно красноречиво. Поскольку мы завершили рассуждения о великих философах математики Кантом, мы вынуждены воздержаться от удовольствия открыть для себя гениальные мысли Гегеля по вопросам естествознания и математики. Чтобы компенсировать это упущение, опять же процитируем Карнапа: «Поскольку все законы логики тавтологичны и пусты [без фактического наполнения], они ничего не могут нам сказать о реально существующем мире. Любая диалектическая метафизика (и больше всего у Гегеля) по этой причине нелегитимна».
Естественно, не все философы едины во мнении по данному смертному приговору. Но только единицы из числа философов и прочих бросят вызов пророчеству (1925) философа из Оксфорда Жоада (С.E.M. Joad): «Если господин [Бертран] Рассел прав, большая часть философии лишена всякого смысла, если он не прав, мы можем продолжать надеяться выявить истину о вселенной методами, которые философия традиционно использует. Но прав он или нет, ясно, что человечество будет продолжать философствовать, хотя бы из-за одного только облагораживающего и расширяющего познание влияния философских размышлений на интеллект и глубоко запрятанный инстинкт любознательности, к которому они взывают». Не согласны были только те научные деятели, историки культуры и обозреватели человеческой природы, которых волновал вопрос «облагораживающего и расширяющего познание влияния философских размышлений на интеллект». Но в данной работе, как это часто случалось во время путешествия из прошлого в настоящее, несогласие может корениться во мнении, а вовсе не в знании.
Кто-то может разглядеть в этом беспрерывном потоке изменений теорий и убеждений безрадостную картину нестабильности и бесполезной борьбы. Их можно заверить, что наиболее стабильное состояние покоя – это смерть. Другие заметят, что каждое изменение замещает старое знание на новое, что вчера было истинно, больше таковым не является, и что должно наступить, возможно, будет отлично от всего, что существует сейчас. За исключением предположения о будущем, все остальное – исторический факт, и назовем мы это прогрессом или проклянем как регресс, мы не в силах исключить это из истории. Те же, кто принимает изменения, останутся довольны, а кто нет – опечалятся. Конечно, в изменениях нет такой уж трагедии, как пытаются представить нам те, кому они во вред и кто помешал бы им, если бы сумел. По крайней мере, это не стагнация. Если какая-то вечная истина из прошлого теперь становится ложной и невечной, будет только лучше, потому что устранятся сразу две ошибки. И если ни естествознание, ни математика не могут нигде найти конечность, то это философская истина. Пока еще ни одно из трех не было признано бесполезным. Кто возжелал стабильности в чем-либо, он должен ее искать где угодно, но только не здесь, если он, конечно, не нумеролог или математик-реалист. Остальные последуют за изменяющимся рисунком в калейдоскопе времени, поскольку каждый легкий поворот в ходе событий меняет цвета в новом и непредсказуемом сочетании, чуть замысловатее или красивее по сравнению с тем, что было ранее, или наоборот.
Что же сталось с математиком-реалистом, с которым мы начали данное путешествие в прошлое? Для него никаких значительных изменений не произошло. Все, что сегодня реально, практически осталось таким же, каким было в начале времен. Где-то и как-то числа и математические истины существуют, как они существовали раньше и как будут существовать всегда. Это не злое искажение верований реалиста. Только за первые четыре десятилетия XX века можно привести в пример сотни конфессий, уверенных в себе.
До сих пор слово имели только ученые мужи, давайте дадим возможность женщине высказать авторитетное мнение и процитируем отрывки из содержательного обращения (1925) выдающейся англичанки, геометра Хильды Фоэб Хадсон (Hilda Phoebe Hudson):
«Для всех нас, христиан, вера в то, что Бог есть истина, все, что истинно, есть факт в пользу Бога, а математика – лишь раздел теологии…»
«Старик грек, французский ребенок, индус-самоучка, каждый находит для себя одну и ту же теорию геометрических конических фигур. Простейший, а потому наиболее научный способ описания этого состоит в признании, что они открыли, а не создали геометрию, которая существует сама по себе вечно, одна для всех, одинаковая для учителя и для обучаемого, одинаковая для человека и для Бога. Истина, единая для человека и для Бога, есть чистая математика, которая отличается от прикладной…»
«И что бы мы ни думали о небесах, трудно представить астрономию и ботанику неизменными, при этом сохранившими интерес или значимость… С другой стороны, также тяжело представить себе, что чистая математика не выжила. Законы мысли, и особенно чисел, останутся на прежнем, высоком уровне на небесах, не важно, место это или состояние ума, поскольку они не зависят от конкретной сферы существования, неотъемлемы от самого Сущего, законы Его разума принадлежат Богу и нам, прежде чем мы о них узнали. Таблица умножения заслуживает признания и на небесах…»
«Бог сияет сквозь свои труды так же ясно в логике, как и в сущности».
«Вся геометрия так пропитана славой Божьей, что никто не знает, где начать говорить о ней».
«Два основных направления математики, анализ и геометрия, соотносятся с некоей точностью в двух великих таинствах христианской веры: Троице и Инкарнации».
Глава 27
Возвращение учителя
Первые четыре десятилетия XX столетия запомнятся как начало революции в мире мысли, революции не менее основательной, чем сопутствующий политический и социальный переворот. Старые идеи, за которые по необходимости цеплялось рациональное мышление на протяжении столетий (пространство, время, числа, причинно-следственная связь), были изменены до неузнаваемости в течение десятилетий перед разразившейся Второй мировой войной. Традиционная универсальность математических «истин», так же как положенная необходимость в них, при тщательном рассмотрении исчезли или стали больше походить на один из многих аспектов человеческого знания. Мы проследили за этим изменением; теперь мы обратим внимание на все, что заменило их в науке XX века.
