Для развлечения рассмотрим парадокс квадрата числа Фибоначчи, открытый в 1680 г. французским астрономом Жан-Домиником Кассиини:
где Fn+1 — число из ряда Фибоначчи, следующее за числом Fn;
Fn–1 — число из ряда Фибоначчи, предшествующее числу Fn;
Fn — любое число ряда Фибоначчи.
Не пугайтесь формулы. Графически этот парадокс выглядит намного проще (рис. 2.88).
Рис. 2.88. Парадокс квадрата числа Фибоначчи (на примере квадрата со сторонами 8 на 8)
В 1914 г. этот парадокс был дополнен Сэмом Лойдом (Sam Loyd) занятной фигурой (справа на рисунке). Так, из квадрата площадью 64 клетки (классическая шахматная доска, хотя эта аналогия ни о чем не говорит) можно сложить целочисленные фигуры — или прямоугольник площадью в 65 клеток, или более сложную фигуру площадью в 63 клетки. Удостовериться в этом легко и вам самим, разрезав подобным образом любой квадрат с длиной стороны числа Фибоначчи (например, 8, 13 или 21).
Следует отметить, что этому правилу подчиняются все числа Фибоначчи. Таким образом, любой квадрат числа Фибоначчи можно разделить так, чтобы получить прямоугольную фигуру с площадью на 1 единицу больше или на 1 единицу меньше. И хотя, как нам известно, перемена мест слагаемых сумму не меняет, но по крайней мере на глазах (пусть это и обман зрения) из воздуха делается 1 или в воздухе растворяется 1. Прямо как в финансах. И все зависит только от того, как мы сложим отдельные четыре фигуры, от нашего взгляда на предложенную фигуру. Как много общего в этом простом фокусе-парадоксе с повседневными финансовыми изысканиями. Не так ли и покупатель, и продавец, смотря на один и тот же товар разными глазами, по-разному их «складывают» и получают разные цены? Бид и офер — 63 и 65 соответственно, если смотреть на наш пример. А «квадратный» (видите, даже брокерский сленг сам за себя говорит, ведь получается, что именно квадрат является «средней ценой» этой геометрической шутки) остается таковым, пока не взглянет на рынок либо глазами покупателя, либо глазами продавца.
То, что приведенный выше графический пример превращения квадрата в прямоугольник является оптическим обманом, вы легко можете убедиться сами — все дело в немного искаженных углах разрезания квадрата.
Однако разве финансовые рынки не дают нам ежедневные подтверждения «зрительных обманов»?
Согласно легенде, Фибоначчи вывел ряд чисел, позже названный его именем, наблюдая за совершенством пропорций великой египетской пирамиды в Гизе. Это совершенство объясняется просто — пирамида была построена по правилу золотого сечения.
Золотым сечением называют разделение отрезка AC на две неравные части AB и BC таким образом, что отношения AC:AB и AB:BC приблизительно равны 1.618034 (это число обозначается в честь древнегреческого скульптора Фидия греческой буквой ϕ), а соотношения AB:AC и BC:AB равны приблизительно 0.618034 (обозначается специальным символом
). Кстати,
На рис. 2.89 показано графическое отображение золотого сечения.
Рис. 2.89. Золотое сечение
Золотое сечение, по общепризнанному мнению, является отражением вселенских законов соотношения разных мер, или истинной мерой любого соотношения. Так, спиральные космические образования, спирали речных и морских ракушек и даже человеческих ушных раковин подчиняются правилу золотого сечения. Гениальный Леонардо да Винчи использовал золотое сечение для расчета пропорций тела человека.
Известно, что ряд чисел Фибоначчи наилучшим образом подходит для построения золотого сечения. При этом числа Фибоначчи обладают целым рядом уникальных закономерностей. Первая — это то, что каждое последующее число ряда представляет собой сумму двух предыдущих чисел: 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5 и т.д.
Второй закономерностью ряда является стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к предыдущему числу к значению 1.618034. Чем больше делимые числа, тем ближе к числу ϕ получаемый результат.
Третья закономерность — стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к последующему числу к значению 0.618034, т.е. к
.
Четвертая закономерность — стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к последующему через одно от текущего числа к значению 0.381966. Кстати, квадрат числа 0.618034 также равен 0.381966. Сумма этих двух чисел равна 1, а их отношение — 1.618034 или 0.618034 в зависимости от того, большее число делить на меньшее, или наоборот!
Пятая закономерность — стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к предыдущему через одно от текущего числа к значению 2.618034. Квадрат числа 1.618034 также равен 2.618034. Если к числу 1.618034 прибавить единицу, то здесь мы тоже получим 2.618034.
Как видим, все приведенные выше закономерности ряда Фибоначчи крутятся вокруг золотого сечения, и нет ни одного другого ряда, который таким же образом отражал его.
Именно по этой причине ряд чисел Фибоначчи выбран техническими аналитиками в качестве основы для создания различных графических способов анализа и прогнозирования цен, из которых наиболее известны следующие четыре:
веерные линии Фибоначчи;
дуги Фибоначчи;
уровни коррекции Фибоначчи;
временные периоды Фибоначчи.
Веерные линии Фибоначчи
Веерные линии Фибоначчи представляют собой три линии, построенные на основе отложенной на графике линии AB. Линия AB проводится от ключевых точек графика цены, его поворотных моментов — максимумов и минимумов. Для лучшего применения линий Фибоначчи рекомендуется проводить линию AB при развороте бычьего тренда от максимума к минимуму, а при развороте медвежьего тренда — от минимума к максимуму. Следует также учитывать, что построенные таким образом линии Фибоначчи являются неподвижными и при резком изменении ситуации, возможно, потребуют построения заново, на основе новой линии AB. Как видно на рис. 2.90–2.91, линия AB является диагональю прямоугольника (пунктирные линии). Внутри этого прямоугольника откладываются параллельные оси времени линии на уровне 61.8 (помните число
= 0.618034?), 50 и 38.2% (помните 0.381966?) от общей величины квадрата. Точки пересечения этих линий с правой вертикальной стороной прямоугольника (отмечены кружками) и дадут нам основание провести линии Фибоначчи. О чем же говорят построенные таким образом линии Фибоначчи?
