Другими словами, плотность должна равняться:
Это и есть критическая плотность. (Хотя мы получили этот результат в рамках ньютоновской физики, он применим и тогда, когда вещество во Вселенной обладает релятивистскими скоростями. Под ρ в таком случае понимается полная плотность энергии, деленная на с 2.)
Например, если взять общепринятое сегодня значение постоянной Хаббла (15 км/с на миллион световых лет), то, учитывая, что в световом годе 9,46 × 1012 километров, получим:
В одном грамме содержится 6,02 × 1023 нуклонов. Соответственно это значение критической плотности соответствует 2,7 × 10–6 нуклонам на кубический сантиметр, или 0,0027 частицы на литр.
Заметка 3. Оценки времени расширения
Рассмотрим теперь, как параметры Вселенной меняются со временем. Допустим, в момент времени t типичная галактика массой m находится на расстоянии R(t) от произвольно выбранного центра – например, от нашей Галактики. В предыдущей заметке мы показали, что полная (кинетическая и потенциальная) энергия такой галактики равна:
где H(t) и ρ(t) – значения постоянной Хаббла и плотности вещества во Вселенной в момент времени t. Эта величина является постоянной. Однако мы скоро увидим, что ρ(t) при R(t) → 0 растет не медленнее, чем 1/R3(t), поэтому ρ(t) R2(t) растет не медленнее, чем 1/R(t), когда R(t) стремится к нулю. Чтобы результирующая энергия оставалась постоянной, два слагаемых в скобках должны быть почти равны. В итоге при R(t)→0 имеем:
Характерное время расширения Вселенной есть величина, обратная постоянной Хаббла, т. е.:
Например, в момент первого стоп-кадра в главе 5 плотность составляла 3,8 миллиарда грамм на кубический сантиметр. Таким образом, время расширения равнялось:
Зададимся вопросом: как ρ(t) зависит от R(t)? Если основной вклад в плотность вносят нуклоны (материально-доминированная стадия), то полная масса внутри сопутствующей сферы радиуса R(t) пропорциональна количеству нуклонов внутри этой сферы и, следовательно, не меняется:
Следовательно, ρ(t) обратно пропорциональна R(t)3:
(Символ ∝ означает «пропорциональна».) Если же в плотности преобладает плотность (массовая) излучения (полученная из плотности энергии делением на скорость света в квадрате), что соответствует радиационно-доминированной эпохе, то p(t) пропорциональна четвертной степени температуры. Но температура меняется как 1/R(t), а значит, ρ(t) обратно пропорциональна R(t)4:
Чтобы одновременно учесть как материально-, так и радиационно-доминированную стадию, запишем этот результат в следующей форме:
Попутно заметим, что ρ(t), как и следовало ожидать, действительно расходится не медленнее, чем 1/R(t)3 при R(t) → 0.
Но скорость типичной галактики тогда равна:
Из дифференциального исчисления хорошо известно, что если скорость пропорциональна какой-либо степени расстояния, то время, необходимое для перемещения из одной точки в другую, пропорционально изменению отношения расстояния к скорости. Говоря более точно, если V пропорциональна R(t)1–n/2, то промежуток времени
Таким образом, каково бы ни было значение n, истекшее время пропорционально разности обратных корней из плотности.
Например, после аннигиляции электронов и позитронов в течение всей радиационно-доминированной эпохи плотность энергии имеет следующий вид (см. математическую заметку 6 на с. 249):
Кроме того, в последнем выражении п = 4. Таким образом, Вселенная охлаждается от 100 до 10 миллионов градусов за:
Полученный общий результат более прозрачно можно сформулировать так: промежуток времени, за который плотность падает до ρ (с величины, много большей, чем ρ), равен:
(Если ρ(t2) > ρ(t1), то вторым членом в формуле для t1 – t2 можно пренебречь.) Например, при температуре 3000 K массовая плотность фотонов и нейтрино равнялась:
ρ = 1,22 × 10–35 × [3000]4 г/см3 = 9,9 × 10¯22 г/см3.
Это настолько мало по сравнению с плотностью при 108 K (или 107 K, или 106 K), что время, за которое Вселенная охладится от очень высоких температур, царивших в первые мгновения ее жизни, до 3000 K, можно рассчитать (положив n = 4) следующим образом:
