§ 100
Количество, взятое в его непосредственном соотношении с собой, или, иными словами, в определении положенного притяжением равенства с самим собой, есть непрерывная величина, а взятое в другом, содержащемся в нем определении одного, оно – дискретная величина. Но первое количество также и дискретно, ибо оно есть лишь непрерывность многого, а второе также и непрерывно, и его непрерывность есть одно как тождественное многих одних, как единица.
Примечание. 1) Не следует поэтому рассматривать непрерывные и дискретные величины как виды, один из которых не обладает определением другого; на самом же деле они отличаются друг от друга лишь тем, что одно и то же целое один раз полагается под одним из своих определений, а другой раз – под другим. 2) Антиномия пространства, времени или материи, в которой исследуется вопрос, делимы ли они до бесконечности или состоят из неделимых, есть не что иное, как рассмотрение количества то как непрерывного, то как прерывного. Если положить пространство, время и т. д. лишь с определением непрерывного количества, то они будут делимы до бесконечности, но, положенные с определением дискретной величины, они в себе разделены и состоят из неделимых одних; один способ рассмотрения так же односторонен, как и другой.
Прибавление. Количество как ближайший результат для-себя-бытия содержит в себе как идеальные моменты обе стороны своего процесса: отталкивание и притяжение; оно поэтому столь же непрерывно, сколь и дискретно. Каждый из этих двух моментов содержит в себе также и другой, и нет, следовательно, ни только непрерывной, ни только дискретной величины. Если, несмотря на это, говорят о непрерывной и дискретной величинах как о двух особенных, противостоящих друг другу видах величины, то это лишь результат нашей абстрагирующей рефлексии, которая, рассматривая определенные величины, в одном случае оставляет без внимания один, а в другом – другой из моментов, содержащихся в понятии количества в неразрывном единстве. Говорят, например, что пространство, занимаемое этой комнатой, есть непрерывная величина, а собравшиеся в нем сто человек образуют дискретную величину. Но пространство в одно и то же время и непрерывно и дискретно, и, согласно этому, мы говорим о пространственных точках, делим пространство (например, определенную длину) на столько-то и столько-то футов, дюймов и т. д.; это мы можем делать, только исходя из предпосылки, что пространство в себе дискретно.
Но с другой стороны, состоящая из ста человек дискретная величина вместе с тем непрерывна, и непрерывность этой величины имеет основание в том, что обще им всем – в роде «человек», который проходит сквозь всех этих отдельных людей и связывает их друг с другом.
b. Определенное количество
§ 101
Количество, существенно положенное с содержащейся в нем определенностью, исключающей все прочие, есть определенное количество (Quantum), ограниченное количество.
Прибавление. Определенное количество есть наличное бытие количества, а чистое количество соответствует, напротив, бытию, степень же (которая будет рассмотрена далее) – для-себя-бытию. Что же касается перехода от чистого количества к определенному количеству, то он имеет свое основание в том, что, в то время как в чистом количестве различие как различие между непрерывностью и дискретностью имеется лишь в себе, в определенном количестве это различие, напротив, положено, и положено так, что отныне количество вообще выступает как различенное или ограниченное. Но этим самым определенное количество распадается вместе с тем на неопределенное множество определенных величин. Каждая из этих определенных величин, как отличная от других, образует единство, точно так же, как и последнее, рассматриваемое для себя, есть многое. Но таким образом определенное количество определено как число.
§ 102
Определенное количество находит свое развитие и полную определенность в числе, которое подобно своему элементу – единице (das Eins) – содержит в себе как свои качественные моменты множество (die Anzahl) со стороны момента дискретности и единство (die Einheit) – со стороны момента непрерывности.
Примечание. В арифметике обычно формы исчисления даются как случайные способы действия над числами. Если есть необходимость и смысл в этих действиях, то этот смысл заключается в некоем принципе, а последний может лежать лишь в тех определениях, которые содержатся в самом понятии числа; мы здесь вкратце укажем этот принцип. Определения понятия числа суть определенное множество и единство (die Einheit), а само число есть единство (die Einheit) их обоих. Но единство в применении к эмпирическим числам есть только их равенство; таким образом, принцип арифметических действий должен состоять в том, что числа ставятся в отношение единства и определенного множества и устанавливается равенство этих определений.
Так как сами единицы (die Eins) или сами числа безразличны друг к другу, то единство (die Einheit), в которое они приводятся, вообще имеет видимость внешнего сочетания. Исчислять – значит поэтому вообще считать, и различие способов исчисления зависит только от качественного характера чисел, а принципом этого последнего являются определения единства и множества.
Нумерация есть первое действие, это – составление числа вообще, сочетание скольких угодно единиц. Но арифметическое действие есть исчисление и сочетание не просто единиц, а того, что уже представляет собой число.
Числа суть непосредственно и сначала совершенно неопределенно числа вообще; они поэтому вообще неравны; сочетание или исчисление таких чисел есть сложение.
Ближайшее за этим определение состоит в том, что числа вообще равны, они, следовательно, составляют одно единство, и имеется определенное множество таких чисел: исчисление таких чисел есть умножение, причем безразлично, как распределяются между обоими числами, между сомножителями, определенное множество и единство, какой из них принимается за определенное множество и какой – за единство.
Третью определенность представляет собой, наконец, равенство определенного множества и единства. Сочетание определенных так чисел есть возведение в степень и ближайшим образом – возведение в квадрат. Дальнейшее возведение в степень есть формальное продолжение умножения числа на само себя неопределенное количество раз. Так как в этом третьем определении достигнуто полнейшее равенство единственного имеющегося различия (множества и единства), то не может быть больше арифметических действий, чем эти три. Сочетанию чисел соответствует разложение чисел, согласно тем же определенностям. Поэтому наряду с тремя указанными действиями, которые могут быть названы положительными, существуют также и три отрицательных действия.
Прибавление. Так как число есть вообще определенное количество в его полной определенности, то мы пользуемся им для определения не только так называемых дискретных величин, но также и для так называемых непрерывных величин. Приходится поэтому также и в геометрии прибегать к помощи числа в тех случаях, в которых дело идет об указании определенных пространственных конфигураций и их отношений.
