Пока в комнате присутствует только один испытуемый — назовем его испытуемым А, — вероятность того, что «совпадения по-прежнему нет», равна, очевидно, 1 (365 шансов из 365). Затем появляется второй человек — Б. Теперь вероятность совпадения составляет 1/365. Следовательно, после прихода Б вероятность того, что «совпадения по-прежнему нет», будет равняться 364/365. Теперь пригласим еще одного, третьего, испытуемого — В. 1 шанс из 365, что его день рождения совпадет с днем рождения А, и 1 шанс из 365 — что он совпадет с днем рождения Б. Таким образом, вероятность того, что В не совпадает по дню рождения ни с А, ни с Б, будет равна 363/365 (совпасть сразу и с тем и с другим он не может, так как мы уже знаем, что А и Б родились в разные дни). Чтобы подсчитать общую вероятность того, что совпадения к этому моменту так и не обнаружится, надо взять этот результат 363/365 и помножить его на результаты предыдущих вычислений — в данном случае на 364/365. Точно такие же рассуждения применимы и по отношению к четвертому вошедшему — Г. Теперь общая вероятность того, что «совпадения по-прежнему нет», составляет 364/365 × 363/365 × 362/365. И так далее — пока все 23 человека не окажутся в комнате. Каждый новый участник добавляет очередной множитель к нашему удлиняющемуся произведению, значение которого равняется вероятности того, что «совпадения по-прежнему нет».
Если перемножить все эти 22 дроби (вы дойдете по нисходящей до 343/365), получится около 0,49. Такова вероятность, что ни у кого из находящихся в комнате людей дни рождения не совпадают. Выходит, вероятность того, что хотя бы двое из 23 собравшихся отмечают день рождения одновременно, слегка переваливает за 1/2. Интуиция большинства людей посоветовала бы ставить против такого совпадения. Но это было бы ошибкой. Именно такие интуитивные ошибки и сбивают нас с толку, когда мы характеризуем совпадения как «необъяснимые».
Вот пример реально случившегося совпадения, шансы которого мы можем попытаться приблизительно оценить (хоть это и будет чуть-чуть труднее). Однажды моя жена купила своей матери в подарок красивые антикварные часики с розовым циферблатом. Принеся их домой и отодрав ценник, она с изумлением обнаружила, что на обратной стороне выгравированы инициалы ее матери — M. A. B. Сверхъестественно? Жутковато? Мурашки по спине? Знаменитый романист Артур Кёстлер углядел бы в этом массу скрытого смысла. Равно как и Карл Густав Юнг — повсеместно восхваляемый психолог, который придумал «коллективное бессознательное», а также верил, что при помощи психических сил можно заставить ни с того ни с сего с грохотом взорваться нож или книжный шкаф. Моя жена, будучи более здравомыслящей, просто нашла это совпадение инициалов чрезвычайно удачным и достаточно занятным для того, чтобы рассказать о нем мне, благодаря чему я сейчас делаю этот случай достоянием более широкой аудитории.
Так какова же в действительности вероятность столь впечатляющего совпадения? Подсчитаем ее для начала незамысловатым способом. В английском алфавите 26 букв. Если инициалы вашей матери состоят из трех букв и вам попадутся часы, на которых выгравированы три случайные буквы, то вероятность совпадения одних инициалов с другими составит 1/26 × 1/26 × 1/26, иначе говоря, 1/17 576. В Британии около 55 миллионов жителей. Если каждый из них приобретет старинные часики с гравировкой, то можно ожидать, что более 3000 человек изумленно вскрикнут, обнаружив, что инициалы их матерей уже были начертаны на покупке.
Но на самом-то деле шансы еще выше. В своих бесхитростных расчетах мы исходили из неверного допущения, будто любая буква может с вероятностью 1/26 быть чьим-то инициалом. Такова вероятность по алфавиту в среднем, но для некоторых букв — например, для X или Z — она меньше. Другие буквы — в том числе M, A и B — распространены более широко. Подумайте, насколько сильнее мы впечатлились бы, если бы совпавшими инициалами оказались X. Q. Z. Мы можем улучшить свою оценку шансов, взяв выборку из телефонного справочника. Анализ выборок — приемлемая методика, когда нужно прикинуть количество того, что нельзя сосчитать напрямую. Телефонная книга Лондона нам прекрасно подойдет: во-первых, она большая, а во-вторых, именно в Лондоне моя жена купила часы для своей матери, проживающей там же. Имена частных лиц занимают в этом справочнике около 85 060 дюймов, или около 1,34 мили, столбцов. 8110 дюймов из них занимают фамилии на букву B. Иначе говоря, примерно у 9,5 % лондонцев фамилия начинается на B, что намного больше значения для среднестатистической буквы алфавита, равного 1/26, то есть 3,8 %.
Итак, вероятность того, что фамилия случайно взятого лондонца начинается на B, приблизительно равна 0,095 (9,5 %). А как насчет соответствующих вероятностей для имен, начинающихся на M и на A? Подсчитывать инициалы по всей телефонной книге слишком долго, да и бессмысленно, так как справочник и сам по себе лишь некая выборка. Проще всего будет найти в этой выборке такую подгруппу, где первые буквы имен удобно расположены в алфавитном порядке. Это справедливо для перечня лиц с одной и той же фамилией. Возьмем фамилию Смит, самую распространенную в Англии, и посмотрим, какую долю среди всех Смитов занимают М. Смиты и А. Смиты. Можно не без оснований надеяться, что это будет неплохо отображать распределение начальных букв в именах всех лондонцев вообще. Оказывается, столбцы со Смитами занимают заметно больше 20 ярдов. 0,073 от этого числа (или 53,6 дюйма столбцов) посвящено М. Смитам. В то время как А. Смиты занимают 74,9 дюйма столбцов, составляя 0,102 части всех Смитов, вместе взятых.
Следовательно, если вы живете в Лондоне и ваши инициалы состоят из трех букв, то вероятность того, что это M. A. B. (именно в таком порядке), равняется примерно 0,102 × 0,073 × 0,095, то есть около 0,0007. А поскольку в Британии 55 миллионов жителей, больше 38 000 человек будут обладать инициалами M. A. B., при условии, разумеется, что у каждого из этих 55 миллионов инициалы состоят из трех букв. Конечно, не у всех инициалы трехбуквенные, но, еще раз проглядев телефонный справочник, легко убедиться, что у большинства. Даже если исходить из самой скромной оценки, что только у половины британцев инициалы состоят из трех букв, все равно получится, что инициалы более 19 000 человек совпадают с инициалами матери моей жены. Любой из этих 19 000 мог купить те же самые часы и вскрикнуть, изумившись совпадению. Наши расчеты показали, что никакого повода для крика тут нет.
А на самом деле, если мы крепко поразмыслим насчет сосопосо, то обнаружим, что причин для изумления у нас и того меньше. Инициалы M. A. B. соответствовали девичьей фамилии матери моей жены. Будь на часах выгравировано M. A. W. — ее инициалы после замужества, — это показалось бы нам столь же впечатляющим. Фамилий, начинающихся на W, в телефонной книге примерно столько же, сколько и на B. Это обстоятельство в два раза увеличивает сосопосо, удваивая и количество жителей нашей страны, у которых — с точки зрения тех, кто охоч до совпадений, — «такие же» инициалы, как и у матери моей жены. Более того, если бы какая-нибудь дама купила часики и обнаружила на них свои собственные инициалы, а не инициалы своей матери, она, вероятно, сочла бы такое совпадение еще более примечательным и достойным того, чтобы включить его в сосопосо (чьи размеры все растут и растут).
