7.6. Пылинка у Солнца
Поскольку это пылинка, т. е. радиус ее (r) мал, будем считать, что она быстро прогревается на всю глубину и всюду — и внутри, и на поверхности — имеет одинаковую температуру (T). Солнце, имеющее светимость L⊙, создает на расстоянии R, вблизи пылинки, освещенность L⊙/(4πR2). Пылинка абсолютно черная, полностью поглощающая солнечный свет, следовательно, на нее падает поток тепла πr2L⊙/(4πR2). В стационарном состоянии такое же количество тепла должно излучаться с поверхности пылинки, площадь которой 4πr2. Излучение абсолютно черного тела описывается законом Стефана — Больцмана:
где ε — поток энергии, уходящий с единицы поверхности тела, а σ = 5,67 · 10–8 Вт м–2 K–4 — постоянная Стефана — Больцмана. Значит, пылинка будет излучать с мощностью 4πr2σT4. Из равенства потоков приходящего и уходящего тепла
получим выражение для температуры:
Обратите внимание, что температура пылинки не зависит от ее размера, пока выполняются принятые выше условия. То есть, она не должна быть слишком маленькая (при размере, сравнимом или меньше длины волны излучения, закон Стефана — Больцмана использовать нельзя) или слишком большая (температура на поверхности не будет везде одинаковой). Как известно, L⊙ = 4 · 1026 Вт. Тогда температура составит
Как видим, на орбите Земли у пылинки вполне «комнатная» температура — около 8 °C. На орбите Юпитера (R = 5,2 а. е.) она существенно ниже (123 K = −150 °C), а на орбите Нептуна (R = 30,1 а. е.) пылинка будет совсем холодная (51 K = −222 °C). С другой стороны, на орбите Меркурия (R ≈ 0,39 а. е.) пылинка нагреется до такой степени (450 К = 177 °C), что полностью потеряет летучие вещества (молекулы воды и других легких газов). А вблизи поверхности Солнца (R = R⊙ = 4,7 · 10–3 а. е.) пылинка нагреется до 4113 K = 3840 °C, а значит, наверняка испарится.
7.7. Прозрачное Солнце
Если Солнце мгновенно станет прозрачным, то все фотоны из его недр тут же вырвутся наружу. Нетрудно оценить среднюю энергию фотонов, заполняющих Солнце: по своей температуре излучение находится в равновесии с веществом, а температура последнего характеризуется удельной гравитационной энергией, которая близка к квадрату первой космической скорости на поверхности (440 км/с). Поскольку характерная температура 104 K соответствует скорости 10 км/с, то для скорости 400 км/с получим температуру 1,6 · 107 K (не возбраняется и сразу вспомнить центральную температуру Солнца). Для фотонов, по закону Вина, это λ = 3 мм/Т ≈ 2Å (энергия кванта = 5 кэВ — довольно жесткий рентген).
Продолжительность вспышки легко оценить по световому размеру Солнца: R⊙/c = 2÷3 сек. А мощность — по закону Стефана — Больцмана: 4πR2σT4 (где Т = 16 млн K) = 2 · 1040 Вт = 5 · 1013 L⊙. Это будет рентгеновская вспышка невероятной мощности!
7.8. Пятно на Солнце
На второй вопрос ответить легко. Если гигантское пятно полностью состоит из тени, то его температура около 4000 K, а эффективная температура чистой солнечной поверхности около 5800 K. Закон Стефана — Больцмана говорит, что поток солнечного тепла ослабнет в (5800/4000)4 раз, а равновесная температура маленького (или быстро вращающегося) тела понизится в 5800/4000 раз (см. задачу «Пылинка у Солнца»). Если сейчас она составляет около 281 K, то станет 194 K = −79 °C. На самом деле она будет еще ниже, поскольку вся Земля покроется снегом и льдом, отражающими обратно большую часть света. Пожалуй, станет холоднее, чем в лунную ночь в Антарктиде.
На первый вопрос задачи ответить сложнее, поскольку нужно определить, какая часть солнечного излучения попадает в визуальный диапазон спектра при разных температурах поверхности светила. В принципе это можно сделать, если проинтегрировать по частоте излучения произведение двух функций: функции, описывающей солнечный спектр (она близка к функции Планка для спектра абсолютно черного тела), и функции, описывающей чувствительность нашего глаза. Но это сложно. А мы поступим проще: сравним излучение охладившейся до 4000 K поверхности Солнца с излучением лампы накаливания. У обычных лампочек вольфрамовая спираль раскалена до температуры 2700 K, и поэтому основная мощность ее излучения лежит в невидимом инфракрасном диапазоне (закон смещения Вина). Световой КПД такой лампы составляет около 5 %. Если спираль лампы раскалить до температуры около 3400 K (что близко к температуре плавления вольфрама), то КПД достигает 15 %, но лампа при этом быстро сгорает. У энергосберегающих люминесцентных ламп цветовая температура 4200 K и световая эффективность (если верить рекламе) в 5 раз выше, чем у ламп накаливания, т. е. КПД около 25 %. Учитывая это, мы можем с чистой совестью принять для солнечного пятна значение световой эффективности равным 22 %. В этом случае поток видимого света от полностью «запятненного» Солнца понизится в
Теперь понятно, почему пятно на фоне солнечной поверхности выглядит таким темным.
Цвет «запятнанного» Солнца немного сдвинется в красную сторону, но не очень сильно. Дело в том, что голубая часть солнечного света рассеивается в земной атмосфере и в прямых солнечных лучах все равно до нас не доходит (зато тени на снегу в солнечный день имеют голубой оттенок). Именно поэтому свет ламп с цветовой температурой 4200 K называют «дневным».
Поскольку «запятненное» Солнце будет посылать намного меньше голубых лучей, дневное небо станет значительно темнее. Но освещение земной поверхности понизится всего в 20 раз. Вспомнив, что полная Луна освещает Землю в 400 000 раз слабее Солнца (см. задачу 4.4 «Светло ли на Плутоне?»), мы увидим, что «запятненное» Солнце будет светить в 20 000 раз ярче Луны, а это не хуже, чем само Солнце освещает землю в облачный осенний день.
7.9. Черный-черный…
Ответ: в — а — б. Черное тело испускает все, что получило извне. Черный ящик (понятие из кибернетики) выдает хотя бы что-то на выходе. Классическая черная дыра не испускает ничего. Квантовая может, но очень мало.
