В 1583 году во время мессы в Соборе Пизы Галилео наблюдал, как под воздействием ветра качается светильник. Глядя на него, Галилео понял, что без дополнительного приложения сил постоянные колебания становятся все слабее и слабее
. Но сколько нужно времени, чтобы прошло каждое из этих колебаний? Используя свой пульс для измерения времени (точные часы еще не изобрели), он удивился, когда осознал, что, хотя амплитуда каждого колебания уменьшалась, затрачиваемое на каждое колебание время оставалось неизменным. Галилео был заинтригован.
Рис. 2.1. Маятник сдвигают направо из точки покоя (нижнее положение, в котором он, по сути, висит вертикально) до начальной точки (амплитуда). Как только его отпускают, он качается влево, проходя через точку покоя (где его скорость теперь является максимальной) до противоположной стороны, где он достигает конечной высоты (которая соответствует начальной). Когда начальная высота мала, время, которое уходит на один такой цикл, зависит только от длины веревки.
Хотя неизвестно, правдива ли эта история
, первые заметки Галилео о качающемся маятнике (рис. 2.1) – хорошей модели качающегося канделябра – появились в конце 1588 – начале 1589 года, хотя к самим экспериментам
он приступил только в 1602 году. Основываясь на своих опытах, Галилео заключил, что время, требуемое на колебание маятника (период), не зависит от размера колебания (амплитуды); и также не зависит от массы
в конечной точке. Единственное, от чего оно зависит, – длина веревки. Это означает, что если привести маятник в движение на высоте или на «маленькой»
амплитуде вне зависимости от начальной высоты, время, за которое маятник пройдет траекторию от начальной точки и обратно (колебание), всегда будет постоянным (учитывая колебание воздуха и внутреннее трение).
В «Диалоге о двух главнейших системах мира»
Галилео рассуждает об этом с точки зрения протагониста, Сальвиати:
«Соответственно, я взял два шара – один из свинца, один из пробки, – причем первый был в сто раз тяжелее второго, и подвесил их с помощью двух одинаковых, равных по размеру нитей около 4–5 локтей в длину. Запустив их движение (одновременно) как маятники, я увидел, что два эти тела совершали колебание по одному и тому же пути, и периоды легкого и тяжелого шара практически совпадали. Это свободное колебание повторялось сотни раз».
Это наблюдение точное лишь отчасти. Возможно, эксперименты Галилео с маятниками относились только к малым колебаниям – или часы, которыми он пользовался, были недостаточно точными. Справедливо, что период колебания маятника зависит от длины нити, а не от массы груза, однако если размах колебания станет достаточно большим, период будет также зависеть от амплитуды – или начальной высоты. В таком случае период станет длиннее, так как увеличивается амплитуда. Так что мы проводим различие и называем маятник, который качается с постоянным периодом, изохронным маятником.
Галилео полагал, что все маятники изохронные, и это послужило почвой для идеи построить надежные часы – в которых он отчаянно нуждался для своих экспериментов. Он хвастался такими часами Республике Соединенных провинций Нидерландов: «Эти часы действительно превосходны для тех, кто наблюдает за движением и астрономическими явлениями, а их устройство очень простое».
Галилей блефовал; у него не было работающей модели этих «простых в изготовлении» часов. Однако у него действительно была теория относительно того, как их построить, которую он разрабатывал со своим сыном, Винченцо (1606–1649), и студентом и первым биографом, Винченцо Вивиани (1622–1703). К сожалению, до самой смерти у Галилео не было готового прототипа. В итоге такой прототип построил его сын в 1649 году, а в Северной Европе о нем узнали из набросков Вивиани.
В 1656 году Христиан Гюйгенс (1629–1695) самостоятельно создал улучшенную версию часов. Он понял, что маятник будет сохранять постоянный период только малых колебаний. Он смог преодолеть этот недостаток, регулируя колебание маятника, чтобы тот двигался не по естественной, круглой, а по измененной кривой, которая поддерживала постоянный период для всех высот. Эта прямая известна как циклоида, или таутохрона. Гюйгенс описал свою версию (циклоидных) часов с маятником в 1658 году в труде Horologium (что на латыни означает «часы») и в 1673 году опубликовал геометрическое доказательство таутохроны как истинной постоянной кривой периода в Horologium Oscillatorium.
Маятник дает нам другое ценное понимание. Мы понимаем, что скорость маятника в определенной точке зависит от текущей высоты по отношению к начальной высоте, что приводит к самой высокой скорости в самой низкой точке колебания. Другими словами, его текущая скорость зависит от разности высот: чем больше это различие (дальше от отправной точки), тем выше его текущая скорость. Поэтому максимальная скорость достигается в самой низкой точке колебания, которая является также пунктом, в котором в конечном счете колебания прекратятся.
Отношения между высотой и скоростью дают нам лучшее понимание сохранения энергии. Галилео еще вернется к изучению маятника и еще больше приблизится к разгадке тайны энергии. Однако, прежде чем мы доберемся до этого, давайте поговорим о свободном падении.
Свободное падение
Из наших рассуждений о маятнике мы узнали, что:
• период колебания никогда не зависит от количества массы груза, присоединенного к концу веревки;
• скорость маятника увеличивается с уменьшением высоты, максимальная скорость – в самой низкой точке колебания.
Эти результаты интересны сами по себе, но станут еще интереснее, как только мы свяжем их с другими типами движения.
Маятник, качающийся назад и вперед, в действительности является просто объектом, «полное» падение которого остановили за счет натянутой веревки. Другими словами, веревка препятствует свободному падению маятника. Подумайте об этом как о человеке, который прыгает с моста с тарзанкой. В первый раз он прыгает как обычно, с тросом, обернутым вокруг тела, который гарантирует, что прыгун в конце не ударится о землю. Конечно, для этого длина троса должна быть (при полном натяжении) меньше, чем высота прыжка, чтобы торможение было безопасным. При втором прыжке длина троса (при полном натяжении) гораздо больше, чем высота падения. Тем не менее внизу находится огромный мат, который должен остановить падение и защитить прыгуна от травм.
Это очень похожие сценарии. Единственное значимое различие – длина троса: он меньше начальной высоты при первом прыжке и больше начальной высоты при втором прыжке. По существу, это отношения между качающимся маятником и свободно падающим объектом. Поэтому мы могли бы ожидать, что физические законы, управляющие обоими этими движениями, схожи.
