В итоге статья дала Шрёдингеру возможность улучшить свои знания в области квантовой статистики. Его окончательные формулы не имели никакой практической ценности, и, вместо того чтобы примирить теории идеального квантового газа Эйнштейна и Планка, Шрёдингер добавил в смесь кое-что третье, которое скорее имело сходство с идеями Планка, чем Эйнштейна.
Тем не менее, благодаря своим усилиям он стал хорошо разбираться в имеющейся литературе и приобрел знания в области квантовой статистики – до переписки с Эйнштейном в феврале он не обладал ни тем, ни другим. Он начинал соединять эти три элемента.
Волновое уравнение
3 ноября 1925 года Шрёдингер написал Эйнштейну:
«Несколько дней назад я с величайшим интересом прочитал гениальную диссертацию Луи де Бройля, которую я наконец достал; также с ней [обсуждение волновой природы идеального квантового газа, проведенное в Вашей второй статье] стало впервые для меня понятным».
Как упоминалось выше, в своей второй статье, посвященной идеальному квантовому газу, Эйнштейн провел анализ флуктуаций частиц и обнаружил в окончательном выражении и ожидаемый корпускулярный член, и неожиданный волновой. Эйнштейн заявил, что «он затрагивает нечто бо2льшее, чем просто аналогия», и отметил наличие корпускулярно-волнового дуализма, обрисованного де Бройлем в своей диссертации: «То, как [волна] может быть приписана материальной частице или системе материальных частиц, было подчеркнуто господином Е. де Бройлем довольно заметным образом». (Эйнштейн ошибочно указал первую букву имени де Бройля как «Е», а не «Л».) Шрёдингер всерьез заявлял Эйнштейну, что ему все стало ясно.
4 декабря 1925 года Шрёдингер сообщил Эйнштейну, что он отправил статью по квантовой статистике. Затем он стал обрисовывать цели его последующей статьи. Эта была его последняя статья, написанная до его самой знаменитой работы, которая изменила всю известную тогда физику. Короче говоря, Шрёдингер хотел разработать теорию идеального квантового газа, совершенно свободную от статистики Бозе, чтобы ее выводы предусматривали, что атомы находятся в маленьких «ячейках», как это было в работе Эйнштейна. Он просто не принял статистику как что-то фундаментальное. Вместо этого он утверждал, что подход Эйнштейна на самом деле скрывал более глубокий физический смысл, лежащий в его основе.
Для достижения своих целей он (опять же, хотя и с применением другого подхода) рассмотрел уровни энергии всего набора атомов, не сосредотачиваясь на уровне энергии одного атома, как сделал Эйнштейн. Шрёдингер отметил, что статистика Бозе привела и к теории идеального квантового газа Эйнштейна, и к теории световых квантов Бозе, дающей закон излучения Планка. Далее он указал на то, что закон излучения Планка можно получить, если рассматривать свет согласно его волновой природе.
Ясно, что корпускулярно-волновой дуализм на квантовом уровне был неопровержимым. Таким образом, чтобы завершить картину корпускулярно-волнового дуализма, Шрёдингер предложил новую теорию, где система атомов идеального газа рассматривается как волны, используя вместо статистики Бозе «естественную статистику» (статистический подход с экспериментальным обоснованием, и, по мнению Шрёдингера, имеющий более твердую логическую основу):
«Таким образом должна быть построена картина газа просто согласно той картине [излучения абсолютно черного тела], которая пока еще не соответствует крайней концепции световых квантов; тогда естественная статистика… даст теорию газа Эйнштейна».
Он добавил: «Это означает не что иное, как принятие всерьез [предложенных теорий де Бройля и Эйнштейна, где атомы рассматриваются согласно их волновой природе]».
В этот момент Шрёдингер был полностью привержен идее разработать полную теорию, в которой атомы идеального газа рассматривались с позиций их поведения как волн, как это изначально описывал де Бройль и далее исследовал Эйнштейн. Интересно отметить, что ни Эйнштейн, ни де Бройль в достижении такой теории не преуспели. Разумно допустить, что де Бройлю просто не хватало математического мастерства, если учесть его реальный уровень. Еще удивительнее, что не смог Эйнштейн. По сути дела, он со своей статьей 1905 года, посвященной световым квантам, был отцом корпускулярно-волнового дуализма. Хотя именно Бозе успешно использовал световые кванты, чтобы получить правильную квантовую статистику, и наконец поставил закон излучения Планка на твердую квантовую основу, Эйнштейн был тем, кто включил «принцип дуализма», чтобы успешно применить статистику Бозе к идеальному газу.
Затем, (как уже было упомянуто) Эйнштейн знал, как использовать метод де Бройля, чтобы представить систему частиц газа как волн, и рассмотрел такое использование (в своей второй статье, посвященной идеальному квантовому газу) для решения известной проблемы. И наконец, именно Шрёдингер показал, что набор атомов идеального газа можно описать волновым подходом и получить верные результаты, подобно тому, как это проделал Эйнштейн с «неестественным» статистическим методом Бозе. И хотя эта часть работы заслуживала уважения, Шрёдингер по большей части свел все концы, оставленные Эйнштейном и де Бройлем, но в то же время упустил в своей волновой теории несколько важных компонентов.
В начале ноября 1925 года Дебай предложил Шрёдингеру провести беседу на тему работы де Бройля на объединенном коллоквиуме университета Цюриха и Швейцарской высшей технической школы. По-видимому, как утверждал Феликс Блох (1905–1983), прислали приглашение вроде этого:
«Господин Шрёдингер, в любом случае, прямо сейчас Вы не работаете над очень важными проблемами. Почему бы Вам не рассказать нам как-нибудь о той диссертации де Бройля, которая, кажется, привлекла некоторое внимание?»
Коллоквиум представлял собой серию неформальных лекций (читавшихся раз в две недели, по два часа каждая) перед аудиторией, возможно, в пару дюжин слушателей максимум. Хотя точно неизвестно, наиболее вероятно, что Шрёдингер выступал между второй половиной ноября и первой половиной декабря, и, возможно, в то время, когда он работал над первой статьей по своей «волновой теории» (второй квантовой статистике). Шрёдингер дал прекрасный обзор работы де Бройля. Тем не менее Дебай не был удовлетворен и чувствовал, что в подходе де Бройля что-то было по-прежнему упущено. Опять же, как отмечал Блох: «Дебай случайно отметил, что он думал, что такой вариант обсуждения был довольно несерьезным. Будучи студентом Зоммерфельда, он узнал, что для правильной работы с волнами нужно волновое уравнение».
Дебай был прав. В классической физике все волны имеют связанное с ними волновое уравнение. Если упрощать, волновое уравнение описывает физический процесс движения волны в пространстве и во времени; оно выполняет для волн ту же роль, что и уравнение движения (второй закон Ньютона) – для частиц. Непонятно, насколько значительную роль сыграл комментарий Дебая в продвижении Шрёдингера вперед к получению волнового уравнения. Наиболее вероятно, что он заставил Шрёдингера более серьезно задуматься над этим, даже если он уже шел к уравнению. Можно реально легко утверждать, что в исходном варианте его волновой теории было неявно представлено волновое уравнения, хоть до его полного получения было далеко.
