Стоит труда рассмотреть ближе математическое понятие бесконечного и те наиболее замечательные попытки, которые ставят себе целью оправдать пользование им и устранить затруднение, тяготеющее над методом. Рассмотрение этих оправданий и определений математического бесконечного, которые я изложу в этом примечании более пространно, бросит вместе с тем наиболее яркий свет и на самую природу истинного понятия и покажет, что оно предносилось уму авторов этих попыток и лежало в основании последних.
Обычное определение математического бесконечного гласит, что оно есть величина, больше которой, – если она определена как бесконечно большая, или меньше которой, если она определена как бесконечно малая, – уже нет или – в другой формулировке – как величина, которая в первом случае больше, а во втором меньше какой угодно другой величины. В этой дефиниции, конечно, не выражено истинное понятие, а, наоборот, как мы уже заметили, здесь выражено лишь то же самое противоречие, которое содержится в бесконечном прогрессе. Но посмотрим, что содержится в ней самой по себе. Величина определяется в математике как то, что может быть увеличиваемо или уменьшаемо, следовательно, вообще как безразличная граница. И вот, так как бесконечно большое или бесконечно малое есть нечто такое, что уже больше не может быть увеличиваемо или уменьшаемо, то оно на самом деле уже больше не есть определенное количество как таковое.
Этот вывод необходим и непосредственен. Но именно это соображение, показывающее, что определенное количество – а я называю в этом примечании определенным количеством вообще то, что оно есть, а именно конечное количество, – снято, обыкновенно как раз и не приходит на ум, а между тем оно-то и составляет затруднение для обычного понимания, так как требуется, чтобы определенное количество, когда оно бесконечно, мыслилось как некое снятое, как такое нечто, которое не есть определенное количество, но количественная определенность которого тем не менее сохраняется.
Если обратимся к тому, как относится к этому определению Кант
[56], то увидим, что он его находит несогласующимся с тем, что понимают под бесконечным целым. «Согласно обычному понятию, та величина бесконечна, больше которой (т. е. больше содержащегося в ней множества данных единиц) не может быть никакая другая величина; но никакое множество не есть наибольшее, так как всегда возможно прибавить к нему одну или несколько единиц. Относительно же бесконечного целого мы не представляем себе, как оно велико, и, следовательно, его понятие не есть понятие некоторого максимума (или минимума), а мы мыслим через это понятие лишь его отношение к произвольно взятой единице, относительно которой оно больше, чем всякое число. Смотря по тому, примем ли мы эту единицу большей или меньшей, бесконечное будет большим или меньшим; но бесконечность, так как она состоит только в отношении к этой данной единице, остается всегда одной и той же, хотя, разумеется, абсолютная величина целого этим вовсе не будет узнана».
Кант порицает рассматривание бесконечного целого как некоторого максимума, как некоторого завершенного множества данных единиц. Максимум или минимум как таковой все еще представляется некоторым определенным количеством, множеством. Такое представление не может отклонить указанный Кантом вывод, который приводит к большему или меньшему бесконечному. Вообще, когда бесконечное представляют себе как определенное количество, для него сохраняет значение различие большего или меньшего. Но эта критика не касается понятия истинного математического бесконечного, бесконечной разности, ибо последняя уже больше не есть конечное определенное количество.
Напротив, понятие бесконечности, даваемое Кантом, понятие, которое он называет истинно трансцендентальным, гласит, что «последовательный синтез единицы в измерении определенного количества никогда не может быть завершен». В этом понятии предполагается как данное определенное количество вообще; требуется, чтобы оно было превращено посредством синтеза единицы в некоторую численность, в долженствующее быть указанным определенное количество, но, по утверждению Канта, невозможно когда-либо закончить этот синтез. Здесь очевидно выражено не что иное, как бесконечный прогресс, который только представляют себе трансцендентально, т. е., собственно говоря, субъективно и психологически. Само по себе, дескать, определенное количество завершено, но трансцендентальным образом, т. е. в субъекте, сообщающем ему отношение к некоторой единице, возникает лишь такое определение определенного количества, которое не завершено и безоговорочно обременено потусторонним. Следовательно, здесь вообще застревают в противоречии, которое содержится в величине, но распределяют это противоречие между объектом и субъектом, так что на долю первого выпадает ограниченность, а на долю второго – выхождение за каждую представляемую им себе определенность, выхождение в дурную бесконечность.
Мы, напротив, уже сказали выше, что определение математического бесконечного, и притом так, как его употребляют в высшем анализе, соответствует понятию истинного бесконечного; теперь мы предпримем сопоставление этих двух определений в более развернутом виде. Что касается, прежде всего, истинно бесконечного определенного количества, то оно определилось как в самом себе бесконечное; оно таково, поскольку, как мы выяснили, и конечное определенное количество или определенное количество вообще, и его потустороннее или дурное бесконечное одинаково сняты. Снятое определенное количество возвратилось тем самым к простоте и к соотношению с собою самим, но не только так, как экстенсивное определенное количество, когда оно перешло в интенсивное определенное количество, имеющее свою определенность в некотором внешнем многообразии лишь в себе, причем оно, однако, по предположению безразлично к этому многообразию и отлично от него. Бесконечное определенное количество содержит, напротив, во-первых, внешность и, во-вторых, ее отрицание в нем самом. Таким образом, оно уже больше не есть некоторое конечное определенное количество, не есть некоторая определенность величины, имеющая наличное бытие как определенное количество, а оно просто и поэтому имеет бытие лишь как момент; оно есть определенность величины в качественной форме; его бесконечность состоит в том, что оно дано как некоторая качественная определенность. Таким образом, оно как момент находится в существенном единстве со своим другим, имеет бытие лишь как определенное этим своим другим, т. е. оно обладает значением лишь в связи с неким, находящимся к нему в отношении. Вне этого отношения оно нуль, между тем как раз определенное количество как таковое, согласно предположению, безразлично к отношению и тем не менее является в нем некоторым непосредственным покоящимся определением. В отношении оно, как представляющее собою лишь момент, не есть некое стоящее особняком (für sich) безразличное; в бесконечности как для-себя-бытии оно, будучи вместе с тем некоторой количественной определенностью, имеет бытие лишь как некоторое «для одного».
