Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь настолько не теряется, что оно скорее есть именно то, что получается благодаря превращению конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. Так, например, в последнем отношении исчезают определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются, по существу, один – элементом ординаты, а другой – элементом абсциссы. Так как здесь применяют обычный способ представления, состоящий в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, то одна ордината, раньше отличная от другой ординаты, переходит в последнюю, а раньше различная абсцисса переходит в другую абсциссу; но ордината, по существу, не переходит в абсциссу и абсцисса не переходит в ординату. Оставаясь и далее в рамках этого примера переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты должен быть понимаем не как отличие одной ординаты от другой ординаты, а как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся во взаимном отношении между собой. Различие, не будучи уже больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно сжалось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.
Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или приращение, в том смысле, что оно будто бы есть лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел здесь, следовательно, не имеет смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью различия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого и ее качественная природа, по которой dx есть, по существу, определение отношения не к x, а к dy, отступает в представлении на задний план. В дифференциальном исчислении заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно x, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь к dy. В таких изложениях геометры стараются сделать понятным приближение некоторой величины к ее пределу, и держаться того аспекта различия одного определенного количества от другого, в котором оно не есть различие и, однако, все еще есть различие. Но, помимо всего прочего, приближение есть само по себе ничего не говорящая и ничего не делающая понятным категория; уже dx оставил приближение позади себя, он ни близок, ни более близок, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости и приближения.
Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно малые разности рассматриваются лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, их понимают при этом как безотносительные моменты. Из этого вытекало бы не выдерживающее критики представление, будто в последнем отношении дозволительно приравнивать между собою, например, абсциссу с ординатой или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. Может казаться, что такое представление получает силу в том случае, когда дуга рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией, и ее элемент имеет прежде всего другое качество, чем элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и недозволительным, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т. д. принимать круглые квадраты, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за кусочек касательной и, следовательно, трактовать ее как прямую линию. Однако такую трактовку следует, по существу, отличать от вызвавшего порицание смешения; она имеет свое оправдание в том, что в том треугольнике, который имеет своими сторонами элемент некоторой дуги и элемент ее абсциссы и ординаты, отношение остается тем же самым, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие существенное отношение, т. е. то отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда мы абстрагируемся от присущих им конечных величин, суть те же самые. Можно выразиться об этом и таким образом, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями и отношение между ними при их бесконечности стало отношением между кривыми. Так как согласно дефиниции прямой линии она есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, что, стало быть, есть количественное определение. Но это определение в ней исчезает, когда мы принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; а вместе с тем исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное исключительно только на различии определенного количества. Следовательно, как бесконечные прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и тем самым на основании принятой дефиниции не имеют больше также и никакого качественного отличия друг от друга, а первая переходит во вторую.
Родственным и тем не менее отличным от приравнивания разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное допущение, что бесконечно малые части одного и того же целого равны между собою. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету, т. е. к такому предмету, который обременен существенною неравномерностью количественных определений, это допущение порождает содержащееся в теореме высшей механики своеобразно превратное утверждение, гласящее, что в равные и притом бесконечно малые промежутки времени проходятся бесконечно малые части кривой в равномерном движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в равные конечные, т. е. существующие части времени, проходятся конечные, т. е. существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения, которое как существующее неравномерно и признается таковым. Эта теорема есть словесное выражение того, что должен означать собою аналитический член, получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но, впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и предложениях и представить их в геометрических обозначениях, главным образом для того, чтобы применять их для вывода теорем по обычному способу доказательства. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение, например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были согласно такому значению доставлять правильные положения, физические законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться также и их объективные связи и отношения, как, например, должно было именно определяться, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой, кроме того, всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие предложения выставляются в новой, получившей аналитическую форму механике исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том, имеют ли они сами по себе самостоятельный реальный смысл, т. е. такой смысл, которому соответствует некоторое существование, не заботится также и о том, чтобы это доказать. Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в определенно реальном смысле, например, объяснить переход от просто равномерной скорости к равномерному ускорению, считается совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором сказанная связь есть простое следствие отныне прочного авторитета действий исчисления. Нахождение единственно только путем вычисления законов, выходящих за пределы опыта, т. е. таких предложений о существовании, которые сами не имеют существования, выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления бесконечно малых математики всячески старались указать и обосновать самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических построениях определений и положений и применять их в таком смысле для доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat. philosophiae naturalis, Hb. I, sect. II, prop. I, с астрономией Шуберта (изд. 1-е, т. III, § 20), где он вынужден признать, что дело обстоит не совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело обстоит не так, как это принимает Ньютон).
