β) Сказанным определяется природа уравнения, над которым нужно будет производить действия, и теперь следует указать, каков тот интерес, на удовлетворение которого направлено произведение этих действий. Это рассмотрение может нам дать лишь уже знакомые результаты, результаты такого рода, какие по форме имеются в особенности в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить примешавшиеся сюда чужеродные определения. Основой для действий над уравнением указанного вида оказывается то, что степень внутри ее самой понимается как некоторое отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть число, поскольку оно пришло к тому, что его изменения определены им же самим, его моменты, единица и численность, тождественны – вполне, как мы выяснили ранее, ближайшим образом в квадрате, более формально (что не составляет здесь разницы) в высших степенях. Степень (ввиду того что она как число – хотя бы мы и предпочитали выражение «величина», как более общее, она в себе всегда есть число – есть некоторое множество, могущее быть изображенным также и как сумма) может ближайшим образом быть разложена внутри себя самой на любое множество чисел, которые не имеют никакого другого определения как относительно друг друга, так и относительно их суммы, кроме того, что они все вместе равны последней. Но степень может быть также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени. Если степень принимается за сумму, то в виде суммы рассматривается также и ее основное число, корень, и оно может быть разложено любым образом, каковое разнообразие разложений есть однако нечто безразличное, эмпирически количественное. Сумма, каковою должен быть корень, сведенная к ее простой определенности, т. е. к ее истинной всеобщности, есть двучлен; всякое дальнейшее увеличение числа членов есть простое повторение того же определения и потому нечто пустое
[63]. Единственно важным является здесь, стало быть, та качественная определенность членов, которая получается посредством возвышения в степень принимаемого за сумму корня, каковая определенность заключается единственно только в том изменении, которым является возвышение в степень. Эти члены суть, следовательно, всецело функции возвышения в степень и [самой] степени. Это изображение числа как суммы некоторого множества таких членов, которые суть функции возвышения в степень, а затем интерес нахождения формы таких функций и, далее, этой суммы из множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от сказанной формы – все это составляет, как известно, особое учение о рядах. Но при этом мы должны существенно различать еще дальнейший интерес, а именно отношение самой лежащей в основании величины, – определенность которой, поскольку она есть некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе некоторую степень, – к функциям ее возвышения в степень. Это отношение, совершенно абстрагированное от вышеназванного интереса нахождения суммы, окажется тем углом зрения, который вытекает из действительной науки, как единственный, имеющийся в виду дифференциальным исчислением.
Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или, лучше сказать, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А именно мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит степень, рассматривается внутри ее самой как сумма, и притом как система членов, поскольку последние суть функции возвышения в степень, вследствие чего также и корень рассматривается как сумма, и рассматривается так в своей простой определенной форме как двучлен; xn=(y+z)n=(yn+nyn-1z+…). Это изображение исходило, в целях разложения степени в ряд, т. е. в целях получения функций возвышения в степень, из суммы как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме как таковой, ни о происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение. Соотношение величин как таковое есть то, что, с одной стороны, остается после того, как отвлекаются от plus некоторой суммы как таковой, и что, с другой стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате разложения в ряд данной степени. Но такое соотношение уже определено тем, что здесь предмет есть уравнение, что ym=axn уже также есть комплекс нескольких (переменных) величин, содержащий в себе их степенное определение. В этом комплексе каждая из этих величин безоговорочно положена как находящаяся в соотношении с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в ней самой, – положена как функция прочих величин; их характер функций друг друга сообщает им это определение plus’а, но тем же самым – определение чего-то совершенно неопределенного, а не приращения, инкремента и т. п. Мы, однако, могли бы также и оставить в стороне эту абстрактную точку зрения; можно совершенно просто остановиться на том, что после того, как переменные величины даны в уравнении как функции друг друга, так что эта определенность заключает в себе отношение степеней, теперь сравниваются между собою также и функции возвышения в степень каждой из них, – каковые вторые функции определены далее не чем иным, как самим возвышением в степень. Можно сначала выдавать за произвол или возможность сведение степенного уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза, употребление должны указать пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана единственно только ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих стеленных определений на примере некоторой такой величины, которая как сумма принимается за различенную внутри себя, то это служило отчасти лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, отчасти же в этом заключается способ их нахождения.
Мы, таким образом, имеем перед собой обычное аналитическое разложение в ряд, понимаемое для целей дифференциального исчисления так, что переменной величине дается приращение dx, i, а затем степень двучлена раскладывается в соответствующий ряд. Но так называемое приращение должно быть не определенным количеством, а лишь формой, все значение которой сводится к тому, чтобы быть вспомогательным средством. Стремятся же в этом случае, по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и Лагранжем, а затем подразумеваемому вышеупомянутым представлением о пределе, лишь к получающимся при этом степенным определениям переменных величин, к так называемым коэффициентам (эти коэффициенты суть, правда, коэффициенты приращения и его степеней, которые определяют порядок ряда и которым принадлежат различные коэффициенты). При этом можно сделать еще и то замечание, что так как приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь для целей разложения в ряд, то было бы всего уместнее обозначить его единицей (цифрой «1»), потому что приращение всегда встречается в разложении только как множитель, а множитель «единица» как раз и достигает той цели, чтобы приращение не вносило никакой количественной определенности и никакого количественного изменения. Напротив, dx, сопровождаемый ложным представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как, например, i, обремененные бесполезною здесь видимостью всеобщности, всегда выглядят как некоторое определенное количество и его степени и притязают, что они суть нечто такое, каковое притязание заставляет затем трудиться над тем, чтобы, несмотря на это, избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по степеням, можно было бы с таким же удобством присоединять обозначения показателей как indices (индексы) и к единице. Но и, помимо этого, необходимо абстрагироваться от ряда и от определения коэффициентов по месту, которое они занимают в ряде, так как отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция выводится из первой точно так же, как первая из первоначальной, и для той, которая по счету является второй, первая производная функция есть опять-таки первоначальная. По существу же, интерес направлен не на ряд, а единственно только на получающееся в результате развертывания ряда степенное определение в его отношении к для него непосредственной величине. Стало быть, вместо того чтобы считать это определение коэффициентом первого члена развертывающегося ряда, было бы предпочтительнее (так как каждый член есть первый относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве степени приращения, как и сам ряд, не имеет сюда отношения) употреблять простое выражение «производная степенная функция», или, как мы сказали выше, «функция возвышения величины в степень», причем предполагается известным, каким образом получение производной функции берется как заключенное внутри некоторой степени развертывание.
