Но если в этой части анализа собственно математическое начало есть не что иное, как нахождение функции, определенной через развертывание степени, то является дальнейший вопрос, что следует предпринять с полученным таким образом отношением, в чем его приложение и употребление, или на самом деле вопрос, для какой цели ищут таких функций. Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, которые могут быть сведены к этим абстрактным аналитическим отношениям.
Но относительно приложимости само собой получается прежде всего следующий вывод, который еще до того, как сделаем заключение из случаев приложения, вытекает из самой природы вещей в силу обнаруженного выше характера моментов степени. Раскладывание степенных величин, посредством которого получаются функции их возвышения в степень, если абстрагироваться от более детального определения, характеризуется ближайшим образом вообще тем, что величина понижается на одну степень, получает ближайшую низшую степень. Такие действия, следовательно, делаются приложимыми в таких предметах, в которых также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду пространственную определенность, то мы найдем, что она содержит те три измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты, длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно линию, поверхность и целостное пространство; а поскольку они берутся в их простейших формах и в отношении к самоопределению и, стало быть, к аналитическим измерениям, то мы получаем прямую линию, плоскостную поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет некоторое эмпирическое определенное количество, но с плоскостью появляется качественное, степенное определение; более детальные модификации, например, то обстоятельство, что это происходит уже и с плоскими кривыми, мы можем оставить без рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего лишь о различии в общем виде. Тем самым возникает также потребность переходить от высшего степенного определения к низшему и наоборот, поскольку, например, линейные определения должны быть выведены из данных уравнений поверхности и т. п. или наоборот. Далее, движение, в каковом должно рассматривать отношение величин пройденного пространства и соответствующего протекшего времени, обнаруживается в различных определениях просто равномерного, равномерно ускоренного, попеременно равномерно ускоренного и равномерно замедленного, возвращающегося в себя движения; так как эти различные виды движения выражаются в отношениях величин их моментов, пространства и времени, то для них получаются уравнения, содержащие различные степенные определения, а поскольку может явиться потребность определить некоторый вид движения или же пространственные величины, с которыми связан некоторый вид движения, посредством другого вида движения, это действие равным образом приводит к переходу от одной степенной функции к другой, высшей или низшей. Примеров этих двух предметов достаточно для той цели, для которой они приведены.
Видимость случайности, представляемая дифференциальным исчислением в его приложениях, упростилась бы уже одним сознанием природы тех областей, в которых может иметь место приложение, и своеобразной потребности и условий этого приложения. Но в пределах самих этих областей важно далее знать, между какими частями предметов математической задачи имеет место тот род отношения, который своеобразно полагается дифференциальным исчислением. Мы должны сразу же заметить предварительно, что при этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения. Действие понижения степени некоторого уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине уже есть не уравнение, а некоторое отношение. Это отношение есть предмет собственно дифференциальногоисчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется также отношение самого более высокого степенного определения (первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе отношение мы должны оставить пока в стороне; впоследствии оно окажется своеобразным предметом интегрального исчисления.
Рассмотрим сначала первое отношение и возьмем для – долженствующего быть заимствованным из области так называемого приложения – определения того момента, в котором заключается интерес действия, простейший пример кривых, определяемых уравнением второй степени. Как известно, уравнением непосредственно дано в некотором степенном определении отношение координат. Следствиями основного определения являются определения других связанных с координатами прямых линий: касательной, подкасательной, нормальной и т. п. Но уравнения между этими линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, как части которых определены эти линии, суть прямоугольные треугольники, составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего степенное определение, к этим линейным уравнениям содержит в себе вышеуказанный переход от первоначальной функции, т. е. от той функции, которая представляет собою некоторое уравнение, к производной функции, которая есть некоторое отношение, и притом отношение между известными, содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.
Небезынтересно привести здесь ту историческую справку, что первые открыватели умели указать найденное ими решение лишь совершенно эмпирическим образом, не будучи в состоянии объяснить само действие, оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь указанием на Барроу, учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся ближайшим образом от особенностей дифференциального исчисления, он сообщает, «так как его друзья этого настойчиво просят» (Lect. X), также и свой метод определения касательных. Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы составить надлежащее представление о том, как его указания относительно этого метода носят характер указания о совершенно внешнем правиле, в том же стиле, как излагалось когда-то в учебниках арифметики тройное правило или, еще лучше, так называемая проба арифметических действий девяткою
[64]. Он чертит те маленькие линии, которые впоследствии были названы приращениями в характеристическом треугольнике кривой линии, и затем в виде простого правила предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания уравнения выступают как степени или произведения этих приращений (etenim isti termini nihilum valebunt)
[65], а также и те члены, которые содержат величины, определяемые лишь из первоначального уравнения (позднейшее вычитание первоначального уравнения из него же с приращениями), и, наконец, подставить вместо приращения ординаты самую ординату и вместо приращения абсциссы – подкасательную. Нельзя, если дозволительно так выразиться, изложить способ более школьно-педантически; последняя подстановка представляет собою сделанное в обычном дифференциальном методе основой определения касательной допущение пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и подкасательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной; способы Роберваля и Ферма сводятся к чему-то сходному – метод нахождения наибольших и наименьших значений, из которого исходил последний, покоится на тех же основах и том же приеме. Математической страстью того времени было нахождение так называемых методов, т. е. этого рода правил, и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в известном отношении даже нужно, и нужно именно потому, что было легко, а именно потому, что изобретатели находили лишь эмпирически внешнее правило, а не метод, т. е. не нечто, выведенное из признанных начал. Такие так называемые методы Лейбницвоспринял от своего времени; Ньютон также воспринял их от своего времени, а непосредственно – от своего учителя; обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но, занимаясь этим делом, они чувствовали вместе с тем потребность освободить прием от характера чисто внешних правил и старались дать ему требуемое оправдание.
