С отбрасыванием констант находится в связи одно замечание, которое можно сделать относительно названий дифференцирования и интегрирования, замечание, сходное с тем, которое мы сделали раньше относительно наименований «конечное» и «бесконечное выражение»
[66], а именно что в их определении содержится скорее противоположное тому, что выражается этими названиями. Дифференцирование означает полагание разностей; но дифференцирование, наоборот, уменьшает число измерений уравнения, и в результате отбрасывания константы устраняется один из моментов определенности; как мы уже заметили, корни переменной величины приравниваются, их разность, следовательно, устраняется. Напротив, при интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее устраненная разность корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. Обычный способ выражения способствует тому, чтобы оставить в тени существенную природу предмета и все сводить к подчиненной и даже чуждой главной стороне дела точке зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же голой разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая их специфического, т. е. качественного различия.
Другую главную область, к которой прилагается дифференциальное исчисление, представляет механика; попутно мы отчасти уже касались смысла различных степенных функций, получающихся при элементарных уравнениях ее предмета, движения; здесь я буду говорить о них непосредственно. Уравнение, а именно математическое выражение просто равномерного движения c=s/t или s=ct, в котором пройденные пространства пропорциональны протекшим временам по некоторой эмпирической единице c, величине скорости, не имеет смысла дифференцировать; коэффициент с уже совершенно определен и известен, и здесь не может иметь места никакое дальнейшее развертывание степени, никакое дальнейшее разложение в ряд. Как анализируется s=at2, уравнение движения падения тел, об этом мы уже вкратце сказали выше; первый член анализа ds/dt=2at выражается словесно и, следовательно, понимается как существующий реально таким образом, что он есть член некоторой суммы (каковое представление мы уже давно устранили), одна часть движения, и притом та часть его, которая приписывается силе инерции, т. е. просто равномерной скорости таким образом, что в бесконечно-малых частях времени движение принимается за равномерное, а в конечных частях времени, т. е. в существующих на самом деле, – за неравномерное. Разумеется, ƒs=2at и значение a и t, взятых сами по себе, известно, равно как известно и то, что этим самым дано определение скорости равномерного движения: так как a=s/t2, то вообще 2at=2s/t; но этим мы нисколько не подвинулись вперед в нашем знании; лишь ложное предположение, будто 2at есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость физического предложения. Самый множитель, a, эмпирическая единица – некоторое определенное количество как таковое – приписывается тяготению; если здесь применяют категорию силы тяготения, то нужно сказать, что, наоборот, как раз целое s=at2 есть действие или, лучше сказать, закон тяготения. То же самое верно и относительно выведенного из ds/dt=2at положения, гласящего, что если бы прекратилось действие силы тяжести, то тело со скоростью, приобретенной им в конце своего падения, прошло бы во время, равное времени его падения, пространство вдвое большее пройденного. В этом положении заключается также и сама по себе превратная метафизика: конец падения или конец той части времени, в которое падало тело, всегда сам еще есть некоторая часть времени; если бы он не был таковой частью, то наступил бы покой и, следовательно, не было бы никакой скорости; скорость может быть установлена лишь по пространству, пройденному в некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же, кроме того, и в других физических областях, где вовсе нет никакого движения, как, например, относительно поведения света (помимо того, что называют его распространением в пространстве) и относительно определений величин в цветах, применяют дифференциальное исчисление и первая производная функция некоторой квадратной функции здесь также именуется скоростью, то на это следует смотреть как на еще более несостоятельный формализм выдумывания существования.
Движение, изображаемое уравнением s=at2, говорит Лагранж, мы находим в опыте падения тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением которого является s=сt3, но такого движения не оказывается в природе; мы не знали бы, что может означать собою коэффициент c. Если это верно, то, напротив, существует движение, уравнением которого является s3=at2 – кеплеровский закон движения тел Солнечной системы. И разрешение вопроса о том, что здесь должна означать первая производная функция 2at/3s2 и т. д., а также дальнейшая непосредственная разработка этого уравнения путем дифференцирования, развитие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь от этой исходной точки зрения, должно бы, конечно, представить собою интересную задачу, в решении которой анализ явил бы себя в достойнейшем блеске.
Таким образом, само по себе взятое приложение дифференциального исчисления к элементарным уравнениям движения не представляет реального интереса; формальный же интерес проистекает из общего механизма исчисления. Но иное значение получает разложение движения в отношении определения его траектории; если последняя есть кривая и ее уравнение содержит высшие степени, то требуются переходы от прямолинейных функций возвышения в степень к самим степеням, а так как первые должны быть выведены из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени, с элиминированием времени, то этот фактор вместе с тем должен быть низведен к тем низшим функциям развертывания, из которых могут быть получены означенные уравнения линейных определений. Эта сторона приводит к рассмотрению интереса другой части дифференциального исчисления.
Сказанное доселе имело своей целью выделить и установить простое специфическое определение дифференциального исчисления и показать наличие этого определения на некоторых элементарных примерах. Это определение, как оказалось, состоит в том, что из уравнения степенных функций находят коэффициент члена разложения, так называемую первую производную функцию, и что обнаруживают наличие того отношения, которое она собою представляет, в моментах конкретного предмета, посредством какового, полученного таким образом уравнения между обоими отношениями определяются сами эти моменты. Мы должны вкратце рассмотреть также и принцип интегрального исчисления и установить, что получается из его приложения для его специфического конкретного определения. Понимание этого исчисления было нами упрощено и определено более правильно уже благодаря одному тому, что мы его больше не принимаем за метод суммирования, как его назвали в противоположность дифференцированию (в котором приращение считается существенным ингредиентом), вследствие чего интегрирование представлялось находящимся в существенной связи с формой ряда. Что касается задачи этого исчисления, то таковой, во-первых, так же как и в дифференциальном исчислении, является теоретическая или, скорее, формальная задача, но, как известно, обратная задаче дифференцирования. Здесь исходят из функции, рассматриваемой как производная, как коэффициент ближайшего члена, получающегося в результате разложения в ряд некоторого, пока еще неизвестного уравнения, а из этой производной должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которая в естественном порядке развертывания должна быть рассматриваема как первоначальная, здесь выводится, а рассматривавшаяся ранее как производная есть здесь данная или вообще начальная. Но формальная сторона этого действия представляется уже выполненной дифференциальным исчислением, так как в последнем устанавливается вообще переход и отношение первоначальной функции к функции, получающейся в результате разложения в ряд. Если при этом отчасти уже для того, чтобы взяться за ту функцию, из которой следует исходить, отчасти же для того, чтобы осуществить переход от нее к первоначальной функции, оказывается необходимым во многих случаях прибегнуть к форме ряда, то следует прежде всего твердо помнить, что эта форма как таковая не имеет непосредственно ничего общего с собственным принципом интегрирования.
