Можно, поэтому, сказать лишь поверхностно, что интегральное исчисление есть только обратная, но вообще более трудная проблема дифференциального исчисления. Дело обстоит, напротив, скорее так, что реальный интерес интегрального исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления столь же мало соглашался отделаться от трудности, которую представляли эти проблемы, рассмотренным гладким способом путем принятия вышеуказанных прямых допущений. Для разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые детали его приема на немногих примерах. Этот прием ставит себе как раз задачей отдельно доказать, что между частными определениями некоторого математического целого, например некоторой кривой, имеет место отношение первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения, приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь качественно разное, это не может быть выполнено в указанной области прямым путем, и определение, таким образом, можно понимать лишь как середину между некоторым большим и некоторым меньшим. Благодаря этому, правда само собою, снова появляется форма приращения с плюсом и минусом, и бодрое «developpons» («развернем в ряд») снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили выше о том, что здесь приращения имеют лишь арифметическое конечное значение. Из развертывания того условия, что подлежащая определению величина больше некоторого легко определяемого предела и меньше другого предела, выводится затем, например, что функция ординаты есть первая производная функция к функции площади.
Выпрямление прямых по способу, показанному Лагранжем, который при этом исходит из архимедовского принципа, интересно тем, что оно проливает свет на перевод архимедовского метода на язык принципа нового анализа, а это позволяет бросить взгляд во внутренний строй и в истинный смысл действия, механически производимого другим путем. Способ действия при этом по необходимости аналогичен вышеуказанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого архимедовского основного определения на язык новой аналитической формы служит изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование двигаться, совершать переходы до бесконечности между некоторым слишком большим и некоторым слишком малым, которые каждый раз получают определенную величину, причем в результате такого постоянного движения всегда получаются, опять-таки, лишь новые слишком большие и слишком малые, но во все более и более тесных пределах. Посредством формализма бесконечно малых сразу же создается уравнение dz2 = = dx2 + dy2. Исходя из указанной основы Лагранжево изложение доказывает, напротив, что величина дуги есть первоначальная функция к некоторой производной функции, характеризующий член которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной функции ординаты.
Так как в способе Архимеда, точно так же как и позднее в исследовании Кеплером стереометрических предметов, встречается представление о бесконечно малом, то это обстоятельство слишком часто приводилось в качестве авторитета в пользу того употребления, которое делают из этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись черты своеобразия и отличия. Бесконечно малое означает прежде всего отрицание определенного количества как такового, т. е. так называемого конечного выражения или той завершенной определенности, которой обладает определенное количество как таковое. И точно так же в последующих знаменитых методах Валериуса, Кавальери и др., основанных на рассмотрении отношений геометрических предметов, основным определением является положение о том, что определенное количество, как определенное количество таких определений, которые ближайшим образом рассматриваются лишь в отношении, оставляется для этой цели в стороне, и эти определения должны быть принимаемы сообразно с этим за не имеющие величины (Nicht-Grosses). Но отчасти этим не познано и не выделено то утвердительное вообще, которое лежит за исключительно отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно, качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно, в степенном отношении; отчасти же, поскольку само это отношение, в свою очередь, включает в себя множество ближе определенных отношений, как, например, отношение между некоторой степенью и функцией, получающейся в результате ее разложения в ряд, они должны были бы быть, в свою очередь, обоснованы всеобщим и отрицательным определением того же бесконечно малого и выведены из него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное утвердительное, которое заключается в Архимедовом способе развертывания задачи, и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его настоящая граница. Величие нового изобретения, взятого само по себе, и его способность разрешать до того времени неприступные задачи, а те задачи, которые и ранее были разрешимы, разрешать более простым способом, – это величие следует видеть исключительно в открытии отношения первоначальной функции к так называемой производной функции и тех частей математического целого, которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для нашей цели, заключающейся в том, чтобы подчеркнуть своеобразие того отношения величин, которое служит предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и ни цели, которая исключительно имелась здесь в виду (а именно установить определенность понятия рассматриваемых определений), ни силам автора не соответствовало бы обозреть весь объем так называемого приложения дифференциального и интегрального исчисления и завершить индукцию, гласящую, что найденный принцип лежит в основании этих видов исчисления, сведением всех их задач и решений последних к этому принципу. Но изложенное достаточно показало, что, как каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или особое отношение величины и такое отношение конституирует сложение, умножение, возвышение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов и т. д., – точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным исчислением; для того отношения, которое присуще этому исчислению, наиболее подходящим названием было бы отношение степенной функции к функции ее развертывания или возвышения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности дела. Лишь так, как в этом исчислении вообще применяются равным образом и действия, основанные на других отношениях величин, например сложение и т. д., в нем применяются также и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для того, чтобы сделать более удобными выражения, нужные для требуемых действий вывода первоначальных функций из функций развертывания. С формой ряда дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда, тот ближайший общий интерес, что оба они стремятся определить те функции развертывания, которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время как интерес этого исчисления простирается лишь на отношение первоначальной функции к ближайшему коэффициенту ее развертывания, ряд стремится представить некоторую сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими коэффициентами. Бесконечное, имеющее место в бесконечном ряде, неопределенное выражение отрицания определенного количества вообще, не имеет ничего общего с утвердительным определением, заключающимся в бесконечном этого исчисления. И точно так же бесконечно малое как приращение, посредством которого развертывание принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для развертывания, и его так называемая бесконечность не имеет никакого другого значения, кроме значения такого средства; ряд, так как он на самом деле не есть то, что требуется, приводит к некоторой избыточности, вновь отбросить которую стоит лишнего труда. Этой необходимостью лишнего труда страдает также и метод Лагранжа, который вновь прибег преимущественно к форме ряда, хотя благодаря именно этому методу в том, что называют приложением, выступает истинное своеобразие высшего анализа, так как, не втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту часть этих предметов, которой свойственна определенность производной функции (функции развертывания), и этим обнаруживает, что форма ряда вовсе не есть то, о чем здесь идет речь
[68].
