Примечание 3. Еще другие формы, находящиеся в связи с качественной определенностью величины
Бесконечно-малое дифференциального исчисления есть в своем утвердительном смысле качественная определенность величины, а об этой последней мы показали ближе, что она в этом исчислении наличествует не только вообще как степенная определенность, но как особенная степенная определенность отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения (Entwicklungspotenz)
[69]. Но качественная определенность имеется также еще и в дальнейшей, так сказать, более слабой форме, и эта последняя, равно как связанное с нею употребление бесконечно малых и их смысл в этом употреблении, должна еще быть рассмотрена в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны в этом отношении сперва напомнить, что различные степенные определения выступают с аналитической стороны прежде всего таким образом, что они оказываются лишь формальными и совершенно однородными, означают числовые величины, которые как таковые не имеют вышеуказанного качественного различия друг от друга. Но в приложении к пространственным предметам аналитическое отношение являет себя во всей своей качественной определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от прямолинейных к криволинейным определениям и т. д. Далее, это приложение влечет за собой то последствие, что пространственные предметы, согласно своей природе данные в форме непрерывных величин, понимаются как дискретные – плоскость, значит, понимается как множество линий; линия – как множество точек и т. д. Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д., чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты представляют собой для искомых определений величины те элементы, из которых должны быть выведены функция и уравнение для конкретного, для непрерывной величины. Для решения задач, в которых по преимуществу оказывается выгодным употреблять этот прием, требуют, чтобы в виде элемента наличествовало в качестве исходного пункта некое само по себе определенное, в противоположность непрямому ходу решения, поскольку последний может начинать лишь с пределов, между которыми лежит то само по себе определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Полученный результат сводится в обоих методах к одному и тому же, если только оказывается возможным найти закон все дальнейшего и дальнейшего определения, при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к указанному обратному ходу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того, как он понимает первую теорему архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой – длине окружности. Так как Кеплер находит смысл этой теоремы в том, что окружность круга содержит в себе столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из которых каждая может рассматриваться как основание равнобедренного треугольника, то он этим выражает разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающееся здесь выражение «бесконечное» еще очень далеко от того определения, которое оно должно иметь в дифференциальном исчислении. Если для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в дальнейшем они должны быть соединены, должны, по существу, служить элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии, никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала принимаются за линейные, равно как линии за плоскостные. Однако так как вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют себе как бесконечно-малые. Дискретное способно лишь к внешнему объединению, в котором моменты сохраняют смысл дискретных одних; аналитический переход от последних совершается лишь к их сумме, он не есть вместе с тем геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д. Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается поэтому вместе с тем наряду с качеством точки еще и качество линейности, а линии – еще и качество плоскости, дабы сумма как сумма маленьких линий оказалась линией и как сумма маленьких плоскостей – плоскостью.
Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого прибегнуть к бесконечно малым должна быть рассматриваема как источник всех тех представлений, которые, имея своим назначением устранить указанные трудности, сами по себе представляют величайшую трудность. Чтобы сделать излишними эти крайние способы устранения затруднения, должна была бы иметься возможность показать, что в самом аналитическом приеме, представляющемся голым суммированием, на самом деле уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее основу в этом приложении арифметических отношений к геометрическим фигурациям, а именно допущение, что арифметическое умножение представляет собою также и для геометрического определения переход в некоторое высшее измерение, что арифметическое умножение величин, являющихся по своим пространственным определениям линиями, есть вместе с тем продуцирование плоскостного определения из линейного; трижды четыре линейных фута равно 12 линейным футам, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12 плоскостных и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных величинах единица – одна и та же. Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, так как умножение производится вообще над числами, т. е. над такими определениями, которые совершенно однородны с тем, во что они переходят, с произведением, и лишь изменяют свою величину. Напротив, то, что называлось бы умножением линии как таковой на линию – это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum, оно есть также ductus puncti in lineam, – есть изменение не только величины, но изменение их как качественного определения пространственности, как измерения; переход линии в плоскость должен быть понимаем как выход первой вовне себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне себя – некоторое целое пространство. То же самое получается, когда представляют себе, что движение точки образует линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении лишь как случайное внешнее изменение состояния; здесь же мы должны брать ту определенность понятия, которую мы выразили как выход вовне себя – качественное изменение – и которая арифметически является умножением единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). К этому можно еще прибавить то замечание, что при выходе вовне себя плоскости, что представлялось бы умножением площади на площадь, получается видимость различия между арифметическим и геометрическим произведением таким образом, что выход вовне себя плоскости, как ductus plani in planum, давал бы арифметически умножение второго измерения на второе, следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, так как оно имеет своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование настолько же формально; взятое как числовое определение 3·3, помноженное само на себя, есть 3·3·3·3; но та же величина, помноженная на себя как определение площади, удерживается на 3·3·3, так как пространство, представляемое как выход за себя, начинающийся от точки, этой лишь абстрактной границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы получить действительное значение в отношении свободного движения, в котором одна сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера – s3:t2), а другая, временная, – арифметически.
