В чем состоит отличие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, теперь само собою ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это качественное, равно как и бесконечно малое, есть лишь множитель (в арифметике) относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Долженствующий же быть сделанным качественный переход от дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина, к непрерывному осуществляется как суммирование.
Но что якобы простое суммирование на самом деле содержит в себе умножение, следовательно, переход из линейного в плоскостное определение, это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают, что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на половину высоты. Эту высоту представляют себе лишь как численность некоторого множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими трапецию параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять площадь, но они суть линии, которые, следовательно, для того, чтобы быть чем-то плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избегнуть трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать в результате плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейном элементе (in dem Linearen) параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же самой, но не обязательно должна быть определена, а первый и последний члены которой суть указанные две параллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это последнее определенное количество называется численностью лишь совершенно относительно, лишь сравнительно с представленном о бесконечно-многих линиях; оно есть вообще определенность величины некоторого непрерывного – высоты. Ясно, что то, что называется суммой, есть вместе с тем ductus lineae in lineam, умножение линейного на линейное; согласно вышеуказанному определению – возникновение плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике вообще, каждый из множителей ab есть некоторая простая величина; но уже в дальнейшем все еще элементарном примере трапеции лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же, напротив, определяется через прогрессию; он тоже есть некоторое линейное, но такое линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной; поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, постольку интерес к ее суммированию называется аналитическим, т. е. арифметическим; геометрическим же моментом является здесь умножение, качественный переход от линейного измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно последнему есть величина некоторого линейного.
Прием, состоящий в том, чтобы представлять площадь как сумму линий, употребляется, однако, часто и тогда, когда не имеет места с целью достижения результата умножение как таковое. Это совершается в тех случаях, когда дело идет о том, чтобы найти величину как определенное количество не из уравнения, а из пропорции. Известен, например, способ доказательства, что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, – способ, состоящий в том, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга, как малая ось к большой, из чего заключают, что так же относятся между собою и суммы ординат, т. е. площади. Те, которые при этом желают избегнуть представления о площади как сумме линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего искусственного приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как здесь уравнение есть лишь пропорция, то при этом сравнивается лишь один из двух линейных элементов площади. Другой элемент площади – ось абсцисс – принимается в круге и эллипсе за равный, следовательно, как множитель арифметического определения величины, за 1, и поэтому пропорция оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего момента. Для представления площади требуются два измерения; но определение величины, как оно дается в этой пропорции, касается только одного момента; поэтому та оказываемая представлению поблажка или помощь, которая состоит в том, что к этому одному моменту присоединяется представление суммы, есть, собственно говоря, непонимание того, что здесь требуется для математической определенности.
Данные здесь пояснения доставляют также критерий оценки вышеупомянутого метода неделимых, созданного Кавальери; метод этот также находит свое оправдание в данных нами пояснениях, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно малых. Эти неделимые суть линии, когда Кавальери рассматривает площади, или они суть квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или конус, и т. д.; принимаемую за определенную основную линию или основную площадь он называет правилом. Это – константа, а по своему отношению к ряду это его первый или последний член; неделимые рассматриваются как параллельные ей, следовательно, как находящиеся в одинаковом определении по отношению к фигуре. Общее основоположение Кавальери состоит в том (Exerc. Geometr. VI – позднейшее сочинение Exerc. I, стр. 6), что «все как плоские, так и телесные фигуры относятся друг к другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются
[70] между собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в отдельности». Для этой цели он в фигурах, имеющих равные основания и высоты, сравнивает пропорции между линиями, проведенными параллельно основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры имеют одинаковое определение и составляют весь ее объем. Таким образом, Кавальери доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограммы, имеющие одинаковую высоту, относятся между собою как их основания; каждые две линии, проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания и параллельные ему, относятся между собою, как основания этих фигур; следовательно, так же относятся между собою и целые фигуры. В действительности линии не составляют объема фигуры как непрерывной, а составляют этот объем, поскольку он должен определяться арифметически; линейное есть тот его элемент, единственно только посредством которого должна быть постигнута его определенность.
Это приводит нас к тому, чтобы поразмыслить о различии, имеющем место касательно того, в чем состоит определенность какой-либо фигуры, а именно эта определенность или носит такой характер, как в данном случае высота фигуры, или она есть внешняя граница. Поскольку она носит характер внешней границы, допускается, что непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы; например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с равными высотами и основаниями лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур, их отношение, прибавляет к внешней границе еще второй принцип определения. Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих равные высоты и основания, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность величины как таковая, раскрывающаяся на любой паре линий, проведенных в обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в одинаковом отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в одинаковом отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности фигуры; но рассмотрение линий исчерпывает полностью ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на могущее быть выдвинутым возражение, будто представление о неделимых приводит к тому, что мы должны сравнивать между собою бесконечные по своей численности линии или поверхности (Geom., lib. II, prop. I, Schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает между собою не их численность, которую мы не знаем – правильнее сказать: не их численность, которая, как мы заметили выше, есть вспомогательное пустое представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые; если бы оно было нечто, находящееся вне их, то оно не могло бы быть сравниваемо; а ведь было бы несообразно сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собою.
