Подобного рода возражения или сомнения имеют свой источник единственно только в употребляемом неопределенном представлении бесконечного множества точек, из которых считается состоящей линия, или линий, из которых считается состоящей площадь; этим представлением затушевывается существенная определенность величины линий или площадей. Целью настоящих примечаний было вскрыть те утвердительные определения, которые при различном употреблении бесконечно малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их от того тумана, в который их закутывает эта применяемая в чисто отрицательном смысле категория. В бесконечном ряде, как, например, в архимедовом измерении круга, «бесконечность» не означает ничего другого, кроме того, что закон дальнейшего определения известен, но так называемое конечное, т. е. арифметическое, выражение не дано, сведение дуги к прямой линии не может быть осуществлено; эта несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще равным образом содержит в себе некоторое отрицательное определение, которое приводит к тому, что они выступают как несоизмеримые, и влечет за собою бесконечное в том смысле, что то непрерывное, которое должно быть принимаемо за дискретное, не должно уже более быть по своей непрерывной определенности определенным количеством. Непрерывное, которое арифметически должно быть принимаемо за произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они суть эти множители или элементы, они принадлежат к низшему измерению, а поскольку появляется степенная определенность, имеют степень низшую, чем та величина, элементами или множителями которой они являются. Арифметически это различие представляется чисто количественным различием корня и степени или какой-нибудь другой степенной определенности. Но если это выражение имеет в виду лишь количественное как таковое, например, a:a2 или d:a2=2a:a2=2:a, или для закона падения тел t:at2, то оно дает лишь ничего не говорящие отношения 1:a, 2:a, 1 at; в противоположность своему чисто количественному определению члены отношения должны были бы быть удерживаемы врозь своим различным качественным значением, как, например, в s:at2, где величина выражается как некоторое качество, как функция величины некоторого другого качества. При этом перед сознанием стоит исключительно только количественная определенность, над которой без затруднения производятся подобающие действия, и можно с чистой совестью умножать величину одной линии на величину другой линии; но в результате умножения этих самых величин получается вместе с тем качественное изменение, переход линии в площадь, поскольку появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность, которая разрешается посредством усмотрения своеобразной природы этого определения и простой сути дела; но введением бесконечных, от которых ожидалось ее устранение, эта трудность скорее только еще более запутывается и оставляется совершенно неразрешенной.
Третья глава
Количественное Отношение
Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она есть его отрицательное потустороннее, которое оно, однако, имеет в самом себе. Это потустороннее есть качественное вообще. Бесконечное определенное количество как единство обоих моментов – количественной и качественной определенностей – есть ближайшим образом отношение.
В отношении определенное количество уже более не обладает лишь безразличной определенностью, а качественно определено как безоговорочно соотнесенное со своим потусторонним. Оно продолжает себя в свое потустороннее; последнее есть ближайшим образом некоторое другое определенное количество вообще. Но, по существу, они соотнесены друг с другом не как внешние определенные количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с другим. Они, таким образом, в этом своем инобытии возвратились в себя; то, что каждое из них есть, оно есть в другом; другое составляет определенность каждого из них. Выхождение определенного количества за себя теперь уже, стало быть, не имеет ни того смысла, что оно изменяется лишь в некоторое другое, ни того, что оно изменяется в свое абстрактное другое, в свое отрицательное потустороннее, а имеет тот смысл, что в этом другом оно достигает своей определенности; оно находит самого себя в своем потустороннем, которое есть некоторое другое определенное количество. Качество определенного количества, определенность его понятия заключается вообще в том, что оно внешне, и вот теперь, в отношении, оно положено так, что оно имеет свою определенность в своей внешности, в некотором другом определенном количестве, есть в своем потустороннем то, что оно есть.
Тем соотношением между собой, которое здесь получилось, обладают именно определенные количества. Это соотношение само есть также некоторая величина. Определенное количество не только находится в отношении, но оно само положено как отношение; оно есть некоторое определенное количество вообще, имеющее указанную качественную определенность внутри себя. Таким образом, как отношение оно выражает себя как замкнутую в себе целостность и свое безразличие к границе тем, что оно имеет внешность своей определенности внутри самого себя и в этой внешности соотнесено лишь с собою и, следовательно, бесконечно в самом себе.
Отношение вообще есть:
1. Прямое отношение. В нем качественное еще не выступает наружу как таковое, само по себе. Определенное количество положено здесь пока что исключительно в аспекте определенного количества, положено имеющим свою определенность в самой своей внешности. Количественное отношение есть в себе противоречие внешности и соотношения с самим собою, устойчивости определенных количеств и отрицания их. Это противоречие снимает себя, поскольку ближайшим образом
2. в обратном отношении сополагается отрицание одного определенного количества как таковое в изменении другого и изменчивость самого прямого отношения;
3. в степенном же отношении выдвигается соотносящаяся в своем различии, с самой собою единица как простое самопродуцирование определенного количества. И, наконец, само это качественное, положенное в простом определении и как тождественное с определенным количеством, становится мерой.
О природе излагаемых ниже отношений многое уже было сказано наперед в предшествующих примечаниях, касающихся бесконечного в количестве, т. е. качественного момента в последнем; теперь остается поэтому лишь разъяснить абстрактное понятие этих отношений.
А. Прямое отношение
1. В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение, определенность одного определенного количества заключается в определенности другого определенного количества, и это взаимно. Имеется лишь одна определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество – показатель отношения.
