Рис. 3.2
(a) Распределение веса при рождении для 1 096 277 детей, родившихся в США у белых неиспаноязычных женщин в 2013 году на 39–40 неделе беременности, а также кривая нормального распределения с теми же значениями среднего и среднеквадратичного отклонения (СКО), что и регистрируемый вес детей в этой генеральной совокупности. Ребенок весом 2910 граммов отображен пунктирной линией. (b) Значения среднего ±1, 2, 3 СКО для нормального распределения. (c) Процентили для нормального распределения. (d) Доля новорожденных с низкой массой тела (темно-серая область) и с массой менее 2910 г (серая область)
Вес ребенка вашей подруги (2910 граммов) указан в виде пунктирной линии, положение которой относительно всего распределения можно использовать для оценки того, насколько он «необычен». Важна форма этого распределения. Такие измерения, как вес, доход, рост и другие аналогичные величины, можно, по крайней мере теоретически, производить с любой желаемой точностью. Поэтому для них можно использовать непрерывные распределения, отображаемые не ступенчатыми, а плавными линиями
[81]. Классический пример – колоколообразная кривая, или нормальное (гауссовское) распределение, которое впервые было подробно исследовано Карлом Фридрихом Гауссом в 1809 году в контексте анализа ошибок измерений в астрономии и геодезии
[82].
Как показывает теория, нормальное распределение случайной величины можно встретить в ситуациях, обусловленных влиянием на нее большого количества мелких факторов, – например, когда на какую-нибудь физическую характеристику нашего тела влияет большое количество генов. Массу тела при рождении (для одной этнической группы и сходного срока беременности) вполне можно считать такой характеристикой, и на рис. 3.2(a) представлена теоретическая кривая нормального распределения с теми же значениями среднего и среднеквадратичного отклонения, что и вся совокупность зарегистрированного веса у детей. Гладкая теоретическая кривая и гистограмма, отображающая реальные данные, удовлетворительно близки
[83]. Аналогично и другие характеристики человека, такие как рост или когнитивные навыки, также имеют распределение, близкое к нормальному. Однако существуют и величины, распределение которых далеко от гауссовского и часто имеет длинный правый хвост. Классический пример – доход.
Нормальное распределение случайной величины характеризуется двумя параметрами – своим средним (или математическим ожиданием) и стандартным отклонением (которое является мерой разброса или отклонения от среднего); кривая на рис. 3.2(a) имеет среднее на уровне 3480 граммов и стандартное отклонение 462 грамма. Мы видим, что величины, используемые в главе 2 для характеризации выборки, можно также применять для описания всей генеральной совокупности. Разница лишь в том, что термины среднее и стандартное отклонение в контексте выборки называются статистиками, а в контексте генеральной совокупности в целом – параметрами. Это впечатляющая возможность – описать больше миллиона измерений (то есть больше миллиона рождений) только этими двумя величинами.
Огромное преимущество использования нормального распределения – в его изученности и возможности взять все его важные характеристики из таблиц или программ. На рис. 3.2(b) показано положение среднего и 1, 2 и 3 среднеквадратичных отклонения в обе стороны от него. Из математических свойств нормального распределения мы знаем, что примерно 95 % всей генеральной совокупности содержится в промежутке [среднее ±2 СКО], а примерно 99,8 % всей генеральной совокупности – в промежутке [среднее ±3 СКО]. Ребенок вашей подруги находится приблизительно на 1,2 СКО ниже среднего – параметр, известный как Z-оценка (или просто число, показывающее, на сколько СКО данное значение отличается от среднего).
Среднее и стандартное отклонение могут также использоваться в качестве кратких описаний (большинства) других распределений, однако полезными могут быть и другие характеристики. На рис. 3.2(c) показаны выбранные процентили для нормальной кривой: например, 50-й процентиль – это медиана, которая делит генеральную совокупность пополам. Можно сказать, что медианное значение – это вес «среднего» ребенка. В случае симметричных распределений (каким и есть нормальное) медиана совпадает со средним значением. 25-й процентиль (3167 граммов) – это вес, меньше которого имеют 25 % родившихся детей. 25-й и 75-й процентиль (3791 граммов) называются квартилями, а расстояние между ними (в нашем случае 624 грамма), или интерквартильный размах – мерой разброса для распределения. И снова те же характеристики, которые в главе 2 мы относили к выборке, здесь применяются ко всей совокупности в целом.
Ребенок вашей подруги находится в 11-м процентиле, а значит, 11 % всех доношенных детей у белых неиспаноговорящих женщин будут весить меньше. На рис. 3.2(d) эта 11-процентная область выделена серым цветом. Процентили веса ребенка важны на практике, поскольку изменения массы его тела будут отслеживаться по отношению к росту, ожидаемому у малышей в 11-м процентиле
[84], и низкое значение процентиля может стать причиной для беспокойства.
По медицинским, а не статистическим причинам дети с весом ниже 2500 граммов считаются «имеющими низкую массу тела при рождении», а с весом меньше 1500 граммов – «очень низкую массу тела при рождении». Рис. 3.2(d) показывает, что, согласно ожиданиям, 1,7 % младенцев в этой генеральной совокупности будут иметь низкую массу тела при рождении. Фактическое число таких детей составило 14 170 (1,3 %) – хорошее соотношение с прогнозом, который дает нормальная кривая. Следует отметить, что в этой группе (доношенные дети у белых неиспаноязычных женщин) уровень детей с низкой массой тела очень небольшой, в то время как общий уровень в 2013 году по всей стране составил 8 %, а у черных женщин – 13 %; как видите, разница между расами существенна.
