Рис. 8.1
Компьютерное моделирование 10 тысяч повторений двух вариантов игр. В Варианте 1 вы выигрываете, если шестерка выпадает хотя бы раз при четырех бросаниях кости, а в Варианте 2 – если пара шестерок выпадет хотя бы раз при 24 бросаниях пары костей. После первых 100 подбрасываний в каждом из вариантов (верхняя диаграмма) вроде бы выгоднее кажется Вариант 2, однако после тысяч игр (нижняя диаграмма) становится ясно, что Вариант 1 несколько лучше
Примечательно, что де Мере играл достаточно часто, чтобы прийти к аналогичному выводу: Вариант 1 немного лучше. Это шло вразрез с его (ошибочными) попытками вычислить шансы на победу
[157], поэтому он обратился за помощью в модный парижский салон Мерсенна
[158]. К счастью, его частым посетителем был философ Блез Паскаль, который, познакомившись с задачей, написал о ней своему другу Пьеру де Ферма (да-да, автору той самой Великой теоремы!). Вместе в последующей переписке они сделали первые шаги на пути к созданию теории вероятностей.
Несмотря на то что люди тысячелетиями играли в азартные игры и делали ставки на то, какой стороной упадут игральные кости, формальная теория вероятностей – сравнительно недавняя идея. В течение следующих пятидесяти лет после работ Паскаля и Ферма в 1650-х годах были заложены математические основы, и сегодня вероятность используется в физике, страховании, пенсионных расчетах, торговле на финансовых рынках, прогнозировании и, конечно же, в азартных играх. Но почему нужно использовать теорию вероятностей при статистических расчетах?
Мы уже встречались с концепцией «случайного выбора» из общего распределения в совокупности – ваша подруга из главы 3, родившая ребенка с низким весом, была нашим первым примером знакомства с вероятностью. Мы должны предположить, что любой элемент генеральной совокупности с равными шансами может попасть в нашу выборку: вспомните аналогию Гэллапа о перемешивании супа перед тем, как его попробовать. И мы видели, что при намерении делать какие-то статистические заключения о неизвестных аспектах мира, включая прогнозы, наши выводы неизбежно будут иметь некоторую неопределенность.
В предыдущей главе мы обсудили, как использовать бутстрэппинг, чтобы узнать, какого разброса в характеристиках выборки можно ожидать, делая раз за разом перевыборку, а затем применить эти данные для указания степени неопределенности в отношении истинной, но неизвестной характеристики всей генеральной совокупности. Опять же для этого нужна концепция «случайного выбора» – идея, которую легко улавливают даже маленькие дети как выразители справедливого выбора.
Традиционно курс статистики начинается с вероятности – именно так я всегда делал, когда преподавал в Кембридже, – однако такое математическое вступление может быть препятствием в понимании важных идей, изложенных в предыдущих главах, где теория вероятности не требуется. Напротив, эта книга – часть того, что можно назвать новой волной в преподавании статистики, в которой формальная теория вероятностей как основа для статистических выводов появляется гораздо позже
[159]. Мы уже видели, что компьютерное моделирование – очень мощный инструмент как для изучения возможных будущих событий, так и для бутстрэппинга с помощью прошлых данных, однако это довольно неуклюжий и грубый способ проведения статистического анализа. Поэтому, несмотря на то что мы долгое время избегали формальной теории вероятностей, настало время познакомиться с ее жизненно важной ролью в обеспечении «языка неопределенности».
Но почему за последние 350 лет развилось нежелание использовать эту блестящую теорию? Меня часто спрашивают, почему люди склонны считать вероятность сложной и интуитивно неясной идеей, и я отвечаю, что после 40 лет исследований и преподавания пришел к выводу, что вероятность действительно сложная и интуитивно неясная идея. Я сочувствую любому, кто считает вероятность трудной и запутанной. Даже после десятилетий работы статистиком, когда мне задают школьный вопрос на вероятность, я предпочитаю уединиться, чтобы молча посидеть в тишине с ручкой и бумагой, попробовать несколько разных способов и наконец озвучить (как я надеюсь) правильный ответ.
Давайте начнем с моего любимого метода решения задач, который мог бы избавить от смущения некоторых политиков.
Правила для вероятностей, изложенные, возможно, чуть проще
В 2012 году 97 парламентариев спросили: «Если вы подбросите монетку дважды, какова вероятность выпадения двух орлов?» Большинство – 60 из 97 – не смогли дать правильный ответ
[160]. Как политики могли бы улучшить результаты?
Возможно, им стоило бы знать правила работы с вероятностями, но большинство людей их не знают. Однако в качестве альтернативы можно использовать более интуитивную идею, которая (как показали многочисленные психологические эксперименты) позволяет людям лучше понять суть вероятностей.
Это идея «ожидаемого количества». Столкнувшись с задачей о двух монетах, вы спрашиваете себя: «Что будет, если я проведу такой эксперимент несколько раз?» Например, вы подбрасываете одну монету, потом вторую – всего делаете так четыре раза. Подозреваю, что даже политик мог бы, слегка подумав, прийти к выводу, что можно ожидать результатов, показанных на рис. 8.2.
Рис. 8.2
