Это – в высшей степени правдоподобная точка зрения, но Гёдель вне всяческих сомнений доказал, что, когда дело доходит до аксиоматизации элементарной арифметики (не планиметрии), есть истины, которые, как «мы можем видеть», истинны, но их истинность совершенно невозможно формально доказать. Строго говоря, это утверждение нужно тщательно ограничить: для любой частной системы аксиом, которая является логически непротиворечивой (а не допускающей некоторые внутренние противоречия – это дисквалифицирующий порок), должно быть арифметическое предложение, ныне известное как предложение Гёделя для этой системы, которое является истинным, но которое внутри системы невозможно доказать. (На самом деле таких истинных предложений должно быть много, но, чтобы тезис был верен, нам нужно лишь одно.) Можно менять системы и доказывать это предложение Гёделя в следующей избранной нами системе аксиом, но если она внутренне непротиворечива, то в свою очередь породит свое собственное предложение Гёделя, и так далее до бесконечности. Невозможна одна-единственная непротиворечивая аксиоматизация арифметики, способная доказать все арифметические истины.
Может показаться, что это не имеет особого значения, поскольку мы редко хотим доказать арифметические факты – если вообще этого хотим; мы просто считаем арифметику чем-то само собой разумеющимся, без всяких доказательств. Но можно разработать системы арифметических аксиом, сходные с евклидовой (например, аксиомы Пеано), и доказать такие элементарные истины, как «2 + 2 = 4», такие очевидные промежуточные истины, как «числа, без остатка делящиеся на 10, также без остатка делятся на 2», и такие неочевидные истины, как «не существует самого большого простого числа». Прежде чем Гёдель разработал свое доказательство, математики и логики повсеместно рассматривали выведение всех математических истин из единственного набора аксиом как великий проект, осуществить который трудно, но возможно; для математиков той эпохи то была высадка на Луну или проект изучения генома человека. Но сделать это совершенно невозможно. Именно это утверждает теорема Гёделя.
Итак, какое отношение это имеет к искусственному интеллекту или эволюции? Гёдель доказал свою теорему за несколько лет до изобретения электронного компьютера, но затем появился Алан Тьюринг и распространил выводы из этой абстрактной теоремы, показав, что, по сути дела, любая формальная процедура доказательства, соответствующая процедуре, описываемой теоремой Гёделя, эквивалентна компьютерной программе. Гёдель нашел способ расставить все возможные системы аксиом в алфавитном порядке. Фактически, все они могут быть расставлены в Вавилонской библиотеке, а затем Тьюринг показал, что этот набор был подразделом другого раздела в Вавилонской библиотеке: раздела всех возможных компьютеров. Неважно, из чего вы собираете компьютер; важно то, какой алгоритм он воспроизводит; и, поскольку любой алгоритм имеет конечное число шагов, можно разработать единообразный язык для уникального описания каждого алгоритма и размещения всех спецификаций в «алфавитном порядке». Тьюринг разработал именно такую систему, и в ней каждый компьютер – от вашего ноутбука до величайшего из всех параллельных суперкомпьютеров, которые когда-либо будут построены, – имеет уникальное описание, как то, что мы сегодня называем машиной Тьюринга. Каждой из машин Тьюринга можно присвоить уникальный номер – если хотите, ее шифр в Вавилонской библиотеке. Затем теорему Гёделя можно истолковать так, чтобы из нее следовало, что у каждой из тех машин Тьюринга, которые являются внутренне непротиворечивыми алгоритмами доказательства арифметических истин (и, неудивительно, что это – Чрезвычайно обширный, но притом Исчезающе малый подраздел множества всех возможных машин Тьюринга), есть связанное с нею предложение Гёделя – арифметическая истина, которую она не может доказать. Итак, вот что говорит нам Гёдель, которого Тьюринг приковал к миру компьютеров: у каждого компьютера, являющегося внутренне непротиворечивым механизмом доказательства арифметических истин, есть ахиллесова пята, истина, которую он никогда не сможет доказать, даже если будет работать до Судного дня. Ну и что с того?
Сам Гёдель считал, что из его теоремы следует, что в этом случае люди (по крайней мере, люди-математики) не могут быть просто машинами, поскольку способны на то, что машины сделать не могут. Точнее, по крайней мере какая-то часть человеческого существа не может быть всего лишь машиной и даже большой системой приборов. Если сердце – насос, легкие – воздухообменники, а мозг – компьютер, то разум математика, полагал Гёдель, не может быть лишь его мозгом, поскольку разум математика способен на то, что недоступно простой вычислительной машине.
На что же такое он способен? Это – проблема определения подвига для большой эмпирической проверки. Соблазнительно думать, что мы уже видели пример: он способен на то, что делали вы, поднимая взгляд на доску в классе, где занимались геометрией – используя нечто вроде «интуиции», или «суждения», или «чистого понимания», он может просто увидеть, что определенные арифметические положения истинны. Идея состоит в том, что ему не нужно полагаться на презренные алгоритмы, чтобы производить собственное математическое знание, поскольку у него есть талант «схватывать» математические истины, в сравнении с которым алгоритмические процессы совершенно меркнут. Вспомните, что алгоритм – это рецепт, которому может следовать услужливый болван: понимания он не требует. Умные математики, напротив, по-видимому, способны использовать свое понимание, чтобы выйти за пределы доступного математическим болванам. Но хотя складывается впечатление, что так думал сам Гёдель, и, хотя описанное, несомненно, отражает распространенную и популярную интерпретацию выводов из теоремы Гёделя, доказать это гораздо сложнее, чем кажется на первый взгляд. Как, например, отличить случай, когда кто-то (или что-то) «схватывает истину» математического предложения, от случая, когда кто-то (или что-то) просто наобум высказывает удачную догадку? Можно научить попугая кричать «правда» и «ложь», когда перед ним на доске пишут разные знаки; как часто попугай должен угадать правильно, чтобы у нас появились основания думать, что у него все-таки есть нематериальный разум (или, возможно, что перед нами просто математик-человек, переодетый попугаем)?
754
Эта проблема всегда была камнем преткновения для тех, кто желал использовать теорему Гёделя, чтобы доказать, будто наш разум – это небесный крюк, а не какой-то там старый и скучный подъемный кран. Если сказать, что, в отличие от машин, люди-математики могут доказать любые арифметические истины, то это делу не поможет, ибо если под «доказательством» мы имеем в виду то же, что и Гёдель в своем доказательстве, то Гёдель показал, что люди (или ангелы, если бы они существовали) на это тоже не способны
755; формального доказательства гёделевского предложения внутри системы, к которой оно принадлежит, не существует. Знаменитую раннюю попытку применения теоремы Гёделя предпринял философ Дж. Р. Лукас
756, решивший определить ключевой подвиг как способность «произвести как верное» определенное предложение – то или иное гёделевское предложение. Однако это определение приводит к неразрешимой проблеме интерпретации, разрушая «подобную мечу в камне» определенность эмпирической стороны аргумента
757. Мы можем лучше понять проблему, рассмотрев несколько сходных «подвигов», реальных и воображаемых.
