Помнит ли читатель, что необходимо сделать по меньшей мере шесть «ласточкиных хвостов», чтобы как следует перемешать карты в колоде? Мы знаем об этом не в последнюю очередь благодаря математику и профессору Стэнфордского университета Перси Диаконису. Спустя несколько лет после публикации его статьи, посвященной тасованию карт, в Стэнфорд обратился психолог из местной тюрьмы с просьбой решить математическую головоломку. С собой он принес закодированные письма заключенных, каждое из которых состояло из кружочков, черточек и точек. Диаконис поручил разгадку кода одному из своих студентов – Марку Кораму. Тот предположил, что заключенные используют подстановочный шифр, и каждый символ – это отдельная буква. Трудность заключалась в том, чтобы понять, какая буква скрыта за каким символом. Задачу можно было попробовать решить методом проб и ошибок. При помощи компьютера Корам мог пробовать разные комбинации букв и проверять полученный текст до тех пор, пока в нем не появится смысл. В этом и заключается метод Монте-Карло. Рано или поздно Корам расшифровал бы письма, но потратил бы на это невероятно много времени.
Он решил не угадывать наобум, а использовать марковское свойство, чтобы предположения раз за разом становились все более точными. Для начала требовалось оценить качество каждого предположения. Корам загрузил в компьютер роман «Война и мир» и проанализировал, как часто в тексте встречаются различные пары букв. Это помогло ему понять, с какой вероятностью эти сочетания букв должны появляться в зашифрованных письмах.
Корам раз за разом случайным образом включал в шифр пару букв и проверял, улучшилась ли его догадка. Если полученное буквосочетание больше, чем предыдущее, походило на фрагмент осмысленного текста, Корам двигался дальше, если нет – возвращался к предыдущему предположению. Иногда его ставили в тупик невероятные сочетания. Стоявшая перед Корамом задача напоминала сборку кубика Рубика, где самый быстрый путь к решению иногда включает шаг, который на первый взгляд ведет в неправильном направлении. Как и в случае с кубиком Рубика, этот шифр невозможно было разгадать, предпринимая шаги лишь «в сторону улучшения».
Идея комбинирования метода Монте-Карло с марковскими свойствами впервые зародилась в лабораториях Лос-Аламоса. Когда в 1943 году Ник Метрополис присоединился к команде, он работал над проблемой, которая занимала еще Пуанкаре и Бореля: Метрополис пытался понять механизм взаимодействия между отдельными молекулами. Для этого необходимо было решать уравнения, описывающие столкновение частиц, – почти невыполнимая задача, учитывая уровень вычислительной техники тех времен.
Метрополис и его коллеги мучились над этой проблемой годами, прежде чем осознали: соединив метод перебора Монте-Карло с цепью Маркова, они смогут сделать заключение о свойствах вещества, исходя из взаимодействия его частиц. Путем последовательных и продуманных предположений можно будет постепенно получить представление о величинах, которые невозможно наблюдать напрямую. Прием, получивший название «марковской цепи Монте-Карло», по сути, основывался на том же подходе, который использовал Корам для расшифровки тюремных сообщений.
Для взлома тюремного кода Кораму потребовалось проверить несколько тысяч вариантов буквосочетаний, что заняло намного меньше времени, чем расшифровка сообщения путем обычного перебора. Одна из тюремных записок повествовала о драке: «Тот парень орал как ненормальный а я говорю por favor
[1] чувак завали дупло я тут в шахматы играю».
Чтобы расшифровать тюремные письма, Кораму необходимо было рассмотреть набор ненаблюдаемых величин (букв, каждая из которых соответствовала определенному символу) и проанализировать их в составе буквосочетаний – той единицы, которую он мог выделить. В лошадиных скачках игроки в тотализатор сталкиваются с похожей проблемой. Они не знают ни того, насколько непредсказуем каждый участник забега, ни того, как каждый возможный фактор повлияет на прогноз. Но для отдельно взятого уровня неопределенности и ограниченной комбинации факторов можно вычислить степень совпадения прогнозируемого результата с реальными итогами забега. Этот метод отражает классический подход Улама: вместо того чтобы решать набор сверхсложных уравнений, игроки поручают эту работу компьютеру.
Сегодня марковская цепь Монте-Карло позволяет синдикатам составлять более качественные прогнозы и даже получать значительные выигрыши по экзотическим ставкам вроде «трех троек». Но успешным игрокам недостаточно просто найти брешь в системе тотализатора. Необходимо знать, как правильно ею воспользоваться.
Если вы играете в «орла или решку» и ставите один доллар на решку, то в случае выигрыша получаете в качестве вознаграждения заслуженный доллар. Тот, кто предложит вам снова поставить уже два доллара, окажет вам услугу: теперь с вероятностью 50 % вы можете выиграть два доллара и с такой же вероятностью – проиграть один доллар, то есть ожидаемая прибыль составит 50 центов.
Какой суммой вы отважились бы рискнуть, если бы вам позволили увеличить ставку? Всеми своими деньгами? Половиной? Если поставите слишком много, можете потерять все свои сбережения при шансе на успех 50 на 50; поставите слишком мало – и упустите шанс разбогатеть.
Закончив работу над системой для блек-джека, Торп заинтересовался проблемой управления игровыми финансовыми ресурсами. Какую сумму лучше всего ставить, если понимаешь, что у тебя есть перед казино некоторое преимущество? Ответ ученый нашел в стратегии под названием «критерий Келли». Названа она в честь Джона Келли, рискового техасского физика, который в 1950-х работал с Клодом Шенноном. Келли утверждал, что при продолжительной игре процентный размер ставки (РС) должен быть равен прогнозируемому игроком коэффициенту (ПК), поделенному на реальный коэффициент (РК):
РС % = (РК × ПК – 1) / (РК – 1).
В приведенном выше примере с «орлом и решкой» критерий Келли составит ожидаемый выигрыш (полдоллара), поделенный на потенциальный выигрыш (два доллара). В этом случае величина равна 0,25, что означает, что вы должны поставить четверть от имеющейся у вас суммы. В теории ставка с этой суммой гарантирует хорошую прибыль без риска разориться. Подобные расчеты могут применяться и для игры на ипподроме. Участники тотализатора могут узнать вероятность победы определенной лошади согласно применяемой ими модели, видя на табло, как оценивает ее шансы публика. И если, по мнению публики, шансы на победу у лошади ниже, чем предсказывает модель, появляется возможность выиграть хорошие деньги.
Несмотря на то что критерий Келли отлично зарекомендовал себя в блек-джеке, у него есть определенные недостатки, особенно заметные при использовании формулы на скачках. Во-первых, критерий Келли предполагает, что вы точно просчитали вероятность события. Вычислить вероятность выпадения орла или решки нетрудно, но на ипподроме все не так однозначно: модель лишь приблизительно оценивает шанс лошади на победу. Если игроки переоценивают возможности лошади, то, следуя критерию Келли, они могут сделать слишком большую ставку, увеличив тем самым риск проигрыша. Соответственно, если переоценить шансы в два раза – например, предположить, что у лошади 50 % шансов на победу, в то время как в реальности они составляют 25 %, такая ошибка способна привести к банкротству. По этой причине ставки синдикатов обычно вполовину или даже на две трети меньше, чем предполагает критерий Келли. Это уменьшает риск потери больших (если не всех) денег.
