Однако даже у двоих игроков есть простор для действий. В модели фон Неймана первый игрок, Элис, может выбрать из трех простых вариантов: поставить один доллар, пропустить ход или сбросить карты, но в реальной жизни она может предпринять кое-что еще – например, изменить ставку. Второй игрок может не принять ее ставку, но и не сбросить карты. Если ему, как Клотье, хватит самоуверенности, он поднимет ставку.
Чем больше возможностей появляется в игре, тем труднее выбрать наилучший вариант действий. Фон Нейман доказал, что в простой ситуации игроки должны использовать «чистые» стратегии, в которых они следуют строгим правилам наподобие: «В случае события 1 всегда делай А, а в случае события 2 всегда делай В». Однако чистые стратегии – не всегда правильный путь. Возьмем игру «камень-ножницы-бумага»: выбрасывать каждый раз одну и ту же фигуру – прекрасный пример последовательности, но стоит оппоненту вас раскусить, и ваша игра бита. Гораздо лучше использовать «смешанную» стратегию, чередовать разные чистые стратегии – камня, ножниц и бумаги. В идеале чередование должно быть построено так, чтобы соперник не мог угадать, что вы сделаете в следующий момент. При игре в «камень-ножницы-бумага» с новым соперником оптимальной стратегией будет выбрасывать фигуры в случайном порядке так, чтобы каждая из трех появлялась одинаковое количество раз.
Смешанные стратегии применяются и в покере. В финале карточного поединка аналитики советуют проявлять честность и блефовать с одинаковой частотой, чтобы ваш соперник перестал реагировать на уравнивание ставки и пас. Как в игре «камень-ножницы-бумага», вам не нужно, чтобы соперник догадался о ваших дальнейших действиях. «Необходимо максимально затруднить противнику принятие решения», – советовал Фергюсон.
Штудируя информацию, полученную во время игр в чатах, Фергюсон наметил и другие возможности усовершенствования стратегии. Когда у опытных покеристов хорошая рука, они сильно поднимают ставку, вынуждая оппонентов сбросить карты. Это устраняет риск того, что слабая карта усилится с помощью прикупа. Но исследования Фергюсона показали, что подъем ставок – излишество; иногда следует ставить меньше и позволять оппонентам оставаться в игре. Так можно больше выиграть в случае победы и меньше потерять, если потерпишь поражение.
В ходе своего исследования Фергюсон также убедился, что успешная покерная стратегия не всегда означает погоню за прибылью любой ценой. Как он заметил в интервью The New Yorker, главный вопрос, которым должен задаваться игрок, звучит не «Как мне выиграть побольше?», а «Как проиграть поменьше?». Новички обычно путают одно с другим и в результате слишком редко пасуют. Конечно, сбрасывая карты, ничего не выиграешь, но выжидание позволяет игрокам избежать участия в дорогих раздачах. Собрав все результаты своих исследований в подробные таблицы, Фергюсон разработал стратегии: когда следует блефовать, когда делать ставку и насколько ее поднимать – и начал играть на деньги. Впервые он принял участие в мировом чемпионате по покеру в 1995 году, а спустя пять лет стал чемпионом.
Фергюсон всегда любил учиться чему-то новому. Так, он натренировался метать игральные карты с дистанции десять футов настолько быстро, что мог с их помощью разрезать пополам морковь. В 2006 году он покорил новый рубеж: начав с нуля, заработал почти девять тысяч долларов. Фергюсон хотел показать, насколько важно в покере умение управлять своим капиталом. Он понимал: как в спортивном беттинге и блек-джеке, где оптимальный размер ставки вычисляется по критерию Келли, необходимо найти такой стиль игры, который уравновесит шансы на прибыль и риск.
Поскольку Фергюсон начинал игру с банком в 0 долларов, первым делом требовалось обзавестись наличностью. К счастью, некоторые сайты проводят карточные турниры без вступительного взноса. Сотни игроков могут бесплатно вступить в игру, а дюжина лучших получает денежный приз. Серьезные игроки редко принимают участие в таких турнирах, и, когда посетители сайта увидели, кому предстоит быть их соперником, многие решили, что это шутка. Что будет делать чемпион уровня Криса Фергюсона на бесплатной игре?
После нескольких попыток Фергюсону наконец удалось получить деньги. «Помню, как через несколько недель игры я выиграл два доллара, – рассказывал Фергюсон, – и три дня ломал голову над тем, как их лучше поставить». Он начал игру с самыми низкими ставками, но уже спустя один круг торговли потерял все. Снова оказавшись без гроша, он решил вернуться к бесплатным турнирам и попробовать еще раз. Было ясно: чтобы достигнуть цели, придется проявить максимум дисциплины.
Играя по десять часов в неделю, Фергюсон смог заработать 100 долларов. На это ушло девять месяцев (хотя он надеялся, что управится за шесть). Он продолжал придерживаться стратегии жесткой экономии, и в каждой игре позволял себе рисковать не больше чем 5 % бюджета. В случае нескольких проигрышей подряд ему пришлось бы возвращаться за стол с более низкими ставками. Снижать планку было психологически нелегко, ведь Фергюсон уже привык к ощущению азарта при высоких ставках и больших призовых. «Скатившись», он потерял азарт, и держать себя в руках стало трудно. Фергюсон решил не рисковать, а немного отстраниться от игры и дождаться, пока восстановится концентрация внимания. Проявленная выдержка дала плоды: спустя еще девять месяцев осторожной игры общая сумма выигрыша Фергюсона составила десять тысяч долларов.
Этот рекорд вкупе с победой на мировом турнире окончательно закрепил за Фергюсоном славу гения покерной науки. Он достиг успеха главным образом благодаря разработке оптимальных стратегий. Но насколько такие стратегии эффективны в играх, подобных покеру? Этот вопрос фон Нейман задал себе одним из первых, когда заинтересовался анализом покера на двоих. Полученный им ответ не только заложил основы новой научной дисциплины, но и вызвал ожесточенный спор о том, кто же был истинным создателем теории игр.
Покер принадлежит к играм с нулевой суммой – прибыль победителя равна потерям проигравшего. Когда играют двое, каждый старается минимизировать выигрыш оппонента и максимально увеличить свой. Фон Нейман назвал это явление «проблемой минимакса». Он хотел доказать, что оба игрока могут найти в этом перетягивании каната оптимальную стратегию, достаточно отыскать способ минимизировать сумму своего потенциального проигрыша вне зависимости от действий противника.
Один из самых характерных примеров игры с нулевой суммой и двумя игроками – пенальти в футболе. Игра заканчивается либо голом (выигрывает забивающий, проигрывает вратарь), либо отсутствием гола (выигрывает вратарь, проигрывает забивающий). Обычно у вратаря в ситуации пенальти мало времени на раздумья, и он должен решить, в какую сторону переместиться в воротах, еще до того, как будет нанесен удар по мячу.
Поскольку среди футболистов встречаются как правши, так и левши, счет матча часто зависит от того, в какой угол ворот целится забивающий. Экономист из Университета Брауна Игнасио Паласиос-Хеурта проанализировал все ситуации пенальти в матчах Европейской лиги с 1995 по 2000 год и обнаружил, что на вероятность гола влияет «естественность» направления удара (для футболиста-правши – левый угол, для футболиста-левши – правый).
