Вот почему в случаях с очень большими объемами входных данных алгоритмы с квадратично растущей стоимостью показывают худшую производительность, чем алгоритмы с линейной стоимостью, но все же намного лучшую, чем алгоритмы с кубической стоимостью. Если вы все поняли, то следующий раздел будет для вас простым: мы всего лишь познакомимся с необычной формой записи, которую программисты используют для выражения этих идей.
2.2. Нотация «О большое»
Существует специальная форма записи, которая обозначает классы роста временных затрат: нотация «О большое». Функция с членом, растущим не быстрее 2n, обозначается как O(2n); функция, растущая не быстрее квадратичной, — как O(n2); функция с линейным или более пологим ростом — как O(n) и т. д. Данная форма записи используется для выражения доминантного члена функций стоимости алгоритмов в худшем случае — это общепринятый способ выражения временной сложности
[25].
Рис. 2.3. Различные обозначения роста сложности, которые часто можно увидеть внутри O
Сортировка выбором и сортировка пузырьком имеют сложность O(n2), но мы вскоре встретим алгоритмы со сложностью O(n log n), которые выполняют ту же работу. В случае с O(n2) десятикратное увеличение объема входных данных привело к росту стоимости выполнения в 100 раз. Если использовать алгоритм O(n log n), то при увеличении объема входных данных в 10 раз стоимость возрастет всего в 10 log 10 ≈ 34 раза.
Когда n равняется миллиону, n2 составит триллион, тогда как n log n — всего лишь несколько миллионов. Работа, на которую алгоритму с квадратично растущей стоимостью потребуются годы, может быть выполнена за минуты алгоритмом со сложностью O(n log n). Вот почему при создании систем, обрабатывающих очень большие объемы данных, необходимо делать анализ временной сложности.
При разработке вычислительной системы важно заранее выявить самые частые операции. Затем нужно сравнить «О большое» разных алгоритмов, которые выполняют эти операции
[26]. Кроме того, многие алгоритмы работают только с определенными структурами входных данных. Если выбрать алгоритм заранее, можно соответствующим образом структурировать данные.
Есть алгоритмы, которые всегда работают с постоянной продолжительностью, независимо от объема входных данных, — они имеют сложность O(1). Например, проверяя четность/нечетность, мы смотрим, является ли последняя цифра нечетной, — и вуаля! Проблема решена. Скорость решения задачи не зависит от величины числа. С алгоритмами O(1) мы познакомимся подробнее в следующих главах. Они превосходны… впрочем, давайте посмотрим, какие алгоритмы никак нельзя назвать «превосходными».
2.3. Экспоненциальное время
Мы говорим, что алгоритмы со сложностью O(2n) имеют экспоненциальное время. Из графика порядков роста (см. рис. 2.3) не похоже, что квадратичные n2 и экспоненциальные сильно отличаются. Если уменьшить масштаб (рис. 2.4), то станет очевидно, что экспоненциальный рост явно доминирует над квадратичным.
Рис. 2.4. Разные порядки роста в уменьшенном масштабе. Линейные и логарифмические кривые растут так медленно, что их уже не видно на графике
Экспоненциальное время растет так быстро, что мы рассматриваем эти алгоритмы как невыполнимые. Они пригодны для очень немногих типов входных данных и требуют значительной вычислительной мощности, если только объем данных не до смешного мал. Не помогут ни оптимизация каждого аспекта программного кода, ни использование суперкомпьютеров. Сокрушительное экспоненциальное время делает эти алгоритмы бесперспективными.
Чтобы наглядно представить взрывной экспоненциальный рост, уменьшим еще масштаб графика и изменим числа (рис. 2.5). Для экспоненциальной функции основание уменьшено с 2 до 1,5 и добавлен делитель 1000. Степенной же показатель увеличен с 2 до 3 и добавлен множитель 1000.
Рис. 2.5. Никакая степенная функция не превзойдет экспоненциальную. На этом графике выбран такой масштаб, что кривой n log n даже не видно из-за ее слишком медленного роста
Есть еще более бесполезные алгоритмы. Речь идет об алгоритмах с факториальным временем, сложность которых составляет O(n!). Алгоритмы с экспоненциальным и факториальным временем ужасны, но они нужны для выполнения самых трудных вычислительных задач — знаменитых недетерминированных полиномиальных (NP-полных) задач. Мы увидим примеры NP-полных задач в следующей главе. А пока запомните вот что: первый человек, который найдет неэкспоненциальный алгоритм для NP-полной задачи, получит миллион долларов
[27] от Математического института Клэя, частной некоммерческой организация, расположенной в Кембридже.
Очень важно распознать класс задачи, с которой вы имеете дело. Если она является NP-полной, то пытаться найти ее оптимальное решение — это все равно что сражаться с ветряными мельницами (если только вы не решили получить тот миллион долларов).
