– Четырнадцать, – уверенно отвечает Райан.
– А если десять часов?
– Семьдесят, – говорит Джош.
Учительница видит, что они поняли урок. Однако вскоре она понимает, что на самом деле ученики так и не уловили смысла выражения, а просто перемножили те числа, которые она назвала.
– Вот мы только что взяли количество часов и что сделали? Мишель?
– Умножили на семь, – отвечает девочка.
– Правильно, но на самом деле, – уточняет учительница, – мы поместили его в выражение с числом Н. Вот что такое вычисление: замена числа переменной.
Тут не понимает еще одна девочка.
– Получается, в примере с хот-догами Х был бы равен двум? – спрашивает она.
– Да, мы заменили Х числом 2, – соглашается учительница. – Мы произвели вычисления в этом примере.
– Тогда почему, – спрашивает девочка, – нельзя просто написать столько-то долларов – стоимость одного хот-дога – умножить на два? Если это просто 2, какой смысл писать вместо него Х?
Ученики задают и другие вопросы, и учительница понимает, что они совершенно не уловили связи между абстрактным числом и переменной за пределами конкретного примера. Когда она пытается вернуться вновь в реалистичный контекст – «урок по обществознанию втрое длиннее, чем урок по математике», – ученики запутываются окончательно.
– Я думал, пятый урок – самый длинный, – говорит кто-то.
На просьбу переделать фразы в уравнения с переменными ученики начинают гадать.
– Что если я скажу: «на шесть меньше, чем такое-то число»? Мишель?
– Шесть минус N, – отвечает Мишель.
– Неверно.
Одри называет единственный оставшийся вариант: «N минус шесть».
– Отлично.
Ребята повторяют эту форму уравнения с множественным выбором. Если наблюдать за их поведением в реальном времени, кажется, что они поняли.
– А если я скажу: 15 минус В? – спрашивает учительница и просит преобразовать уравнение обратно в слова. И снова ученики наперебой предлагают варианты.
– На пятнадцать меньше В? – спрашивает Патрик.
Учительница отвечает не сразу, и он предлагает другую версию: «В минус 15». На этот раз реакция не заставляет себя ждать: он попал в точку. И так повторяется снова и снова.
– Ким на 15 сантиметров ниже своей матери.
– N минус шесть, – предполагает Стив.
– Нет.
– Тогда N минус шесть.
– Хорошо.
– Майк на три года старше Джилл. Райан?
– 3Х, – отвечает тот. Нет, это было бы умножение, так?
– Значит, три плюс Х.
– Отлично!
Маркус нашел верный способ вычисления правильного ответа. При следующем вопросе его рука взметается вверх.
– Три разделить на W. Маркус?
– W дробь три или три дробь W, – на всякий случай предлагает он оба варианта.
– Хорошо, три дробь W, угадал.
Становится ясно, что, несмотря на остроумные примеры учительницы, ученики попросту не понимают, как эти числа и буквы могут пригодиться им где-то за пределами школьной тетради. Когда она спрашивает, в каких жизненных ситуациях можно использовать уравнения с переменными, Патрик отвечает: при решении математических задач. И все же ученики поняли, как давать правильные ответы: беззастенчиво допрашивая учительницу.
Она ошибочно принимает игру с множеством ответов за продуктивное исследование. Иногда студенты объединяются в команду и по очереди бомбардируют ее. «К дробь восемь», – говорит один. «К умножить на восемь», – предлагает второй. «Восемь минус К», – добавляет третий. Учительница добра к ним и пытается воодушевить, хотя они так и не дали правильного ответа.
– Ничего страшного, – говорит она. – Вы ведь думаете.
Вот только проблема в том, как они думают.
* * *
Это лишь один пример из сотен уроков в американских, азиатских и европейских школах, заснятых и проанализированных в попытке понять эффективность обучения основам математики. Разумеется, все уроки были очень разными. В Нидерландах ученики частенько опаздывали и большую часть урока занимались самостоятельно. В Гонконге урок во многом был похож на занятия в американских школах: скорее лекция, нежели практическое занятие. В некоторых странах учителя старались давать объяснения с использованием реалистичных примеров, в других больше полагались на символическую математику. Где-то дети отвечали с места, а где-то учителя вызывали их к доске. Некоторые учителя были энергичны, другие – более сдержанны и спокойны. Этот список различий можно продолжать до бесконечности, но ни один из этих пунктов не относился к разному уровню успеваемости учеников разных стран. Хотя были и общие черты. На всех уроках во всех странах учителя чаще давали ученикам два основных типа заданий. Наиболее распространенными были задания, которые заключались в практическом применении только что пройденного материала. Например, взять формулу расчета суммы внутренних углов многоугольника (180Х (количество граней многоугольника – 2)) и применить к многоугольнику в конкретной задаче. Второй распространенный тип заданий – «поиск аналогии», посредством которого ученики должны были понять явление в широком смысле, а не конкретную процедуру. В рамках таких заданий учитель спрашивал учеников, почему работает именно эта формула, или же просил проверить, будет ли она работать с любым многоугольником. Оба типа заданий имеют смысл и пользу: учителя давали их на каждом уроке, во всех странах. Но разница состояла в том, как вели себя учителя, когда давали задание на поиск аналогии. Вместо того чтобы помочь студентам разобраться самостоятельно, учителя в ответ на их настойчивые просьбы об объяснении, давали подсказки, из-за которых задания на поиск связи превращались в практическую отработку пройденного. Именно так вела себя и учительница в американской школе из примера выше.
Линдси Ричланд, профессор Чикагского университета, которая занимается процессом обучения, просмотрела это видео со мной и сказала, что когда ученики вместе с учительницей играли в угадайку, «на самом деле они пытались вывести правила».
Они стремились превратить концептуальную задачу, принципа которой не понимали, в методическую, которую оставалось только выполнить.
«Людям свойственно стараться минимизировать количество усилий, необходимых на достижение какой-либо цели», – пояснила Ричланд. Попытки вытянуть из учителя подсказки в поисках верного решения – признак ума и находчивости. Проблема в том, что, когда дело доходит до усвоения понятий, которые могут иметь более широкое применение, подобная находчивость может привести к нежелательному результату.
В американских школах около одной пятой всех заданий, которые получают студенты, представляют собой задачи на поиск аналогии. Однако после наводящих вопросов и подсказок учителя к моменту решения абсолютно все эти задания меняют свой тип. Из этого следует, что задания на поиск аналогии не выдерживают взаимодействия между учителем и учеником.
