Простые числа – это еще и своего рода атомы числовой вселенной, из которых строятся все остальные натуральные числа. Казалось бы, есть все основания надеяться, что они будут подчиняться строгим законам – и предсказывать, где именно в числовом ряду появится следующее, не будет составлять никакого труда. Но нет, эти математические кирпичики поразительно непослушны и капризны. Именно это противоречие между ожиданием и реальностью, стойкое ощущение, что некие организующие принципы чрезвычайной важности находятся за пределами нашего разумения, не давало покоя математикам с античных времен.
И действительно, если рассматривать простые числа по одному или маленькими группами, создается ощущение, что закон им не писан. Но если взглянуть на все их множество, в нем, словно в гигантском косяке рыб или стае скворцов, начинает проявляться невидимый вблизи уровень организации. Одно из самых любопытных открытий в области простых чисел было сделано случайно, и мы уже упоминали о нем в предисловии. Произошло это в 1963 году. Заскучав на какой-то лекции, польский математик Станислав Улам начал рисовать на листке бумаги. Он записывал числа в клетки по квадратной спирали, поставив в центре единицу, виток за витком. Затем он обвел кружками все простые числа и обратил внимание на одну странность: по некоторым из диагоналей спирали, а также по нескольким горизонтальным и вертикальным линиям простые числа выстроились необычно густо. Спирали большего размера, построенные с помощью компьютеров и содержащие десятки тысяч чисел, демонстрируют ту же удивительную закономерность. Насколько можно судить, она сохраняется и дальше, какую бы огромную спираль нам ни вздумалось построить.
Часть из таких “плотных” линий спирали соответствует определенным формулам в алгебре, которые, как мы знаем, дают высокий процент простых чисел. Самая известная из них найдена Леонардом Эйлером и названа в его честь. Многочлен Эйлера n2 + n + 41 выдает простые числа для всех значений n от 0 до 39. Например, при n = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 получаем соответственно 41, 43, 47, 53, 61 и 71. При n = 40 формула дает (не простое) число 412, но при более высоких значениях n продолжает и дальше с завидной частотой выдавать простые числа. Есть и другие похожие формулы, обладающие этим не совсем понятным свойством порождать большое количество простых чисел. Математики продолжают дискутировать по поводу значения закономерностей в спирали Улама и их связи с нерешенными задачами, такими как проблема Гольдбаха, гипотеза о числах-близнецах и гипотеза Лежандра (согласно которой между квадратами двух последовательных натуральных чисел всегда есть простое число). Бесспорно одно: спираль Улама наглядно демонстрирует, что закономерность существует и что, несмотря на кажущуюся беспорядочность распределения простых чисел, они следуют каким-то общим правилам, регулирующим их появление в больших группах.
Спираль Улама.
Самая полезная из известных теорем о распределении простых чисел так и называется – “теорема о распределении простых чисел” – и по праву считается одним из величайших достижений в теории чисел. Если в двух словах, она гласит, что при любом достаточно большом числе N количество простых чисел, меньших N, приблизительно равно N, деленному на натуральный логарифм N. (Натуральный логарифм числа x – это показатель степени, в которую нужно возвести число e, равное 2,718…, чтобы получить x.) Определить, где именно находится следующее простое число, по этой формуле невозможно, зато она дает довольно точное представление о том, как много в заданном интервале простых чисел, при условии что он достаточно велик.
В отличие от теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел, которую, как мы видели, можно доказать за минуту простыми словами, на доказательство теоремы о распределении простых чисел ушло целое столетие. Впервые, в 1792 или 1793 году, закономерность заметил немец Карл Гаусс, еще подростком, а спустя несколько лет, независимо от него, – француз Адриен-Мари Лежандр. Математики, конечно, уже давно знали, что интервалы между простыми числами увеличиваются с ростом значений, но после того, как во второй половине XVIII века были опубликованы расширенные таблицы простых чисел и более точные логарифмические таблицы, поиски конкретных формул, описывающих это уменьшение плотности, оживились. Гаусс и Лежандр обратили внимание, что плотность простых чисел близка к величине, обратно пропорциональной логарифму. Дальнейшее важное развитие эта работа по поиску функции распределения получила в трудах русского математика Пафнутия Чебышёва в период с 1848 по 1850 год. Но самый важный прорыв произошел в 1859 году, когда немец Бернхард Риман опубликовал свою статью “О числе простых чисел, не превышающих данной величины” (единственную его статью на данную тему). На восьми страницах ученый изложил свое предположение, позже названное гипотезой Римана, которое по сей день будоражит умы математиков, пытающихся его доказать. Считается, что Давид Гильберт как-то сказал: если ему суждено будет заснуть на тысячу лет, первое, чем он поинтересуется после пробуждения, – доказана ли уже гипотеза Римана. В своей книге о теории, на которой основано предположение Римана, американский математик Гарольд Эдвардс пишет:
На сегодняшний день это, бесспорно, самая известная математическая проблема, продолжающая привлекать внимание лучших математиков – не только из-за того, что ее так долго не удается решить, но также потому, что она кажется соблазнительно доступной, а ее решение, вероятно, приведет к появлению новых перспективных методик.
О том, какое огромное значение имеет гипотеза Римана для науки, говорит тот факт, что она вошла в число семи “задач тысячелетия”, определенных Математическим институтом Клэя, – за решение каждой назначена премия в 1 000 000 долларов. Это одна из двух проблем, которые особенно хотелось бы решить Агниджо. Вторая – проблема равенства классов P и NP (мы обсуждали ее в пятой главе). Кроме того, гипотеза Римана – единственная “задача тысячелетия”, что также вошла и в составленный Давидом Гильбертом список из двадцати трех кардинальных проблем математики, представленный им на II Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года.
Чтобы понять принцип распределения простых чисел, Риман применил методику недавно появившегося раздела математики – комплексного анализа. Как явствует из названия, этот раздел изучает различные способы работы с комплексными числами – теми, что состоят из действительной и “мнимой” частей, например 5 – 3i, где i – квадратный корень из –1. В основе комплексного анализа лежит изучение комплексных функций, то есть попросту правил, с помощью которых можно одно множество комплексных чисел преобразовать в другое. Еще в 1732 году великий швейцарский математик Леонард Эйлер, чье творчество поражает своим объемом и разносторонностью (его научное наследие насчитывает более 31 000 страниц), ввел в математическую науку доселе неизвестное понятие дзета-функции. Она представляет собой разновидность бесконечного ряда – бесконечной суммы элементов, которая, в зависимости от конкретных чисел, составляющих эти элементы, может сходиться или не сходиться к конечному значению. При определенных условиях дзета-функция сводится к ряду, похожему на гармонический (1 + S + ⅓ + j + …), который изучался математиками с античных времен, когда Пифагор и его ученики были одержимы идеей подчинить вселенную законам чисел и музыкальной гармонии. Риман распространил эйлеровскую дзета-функцию на комплексные числа – а потому сегодня она известна также как дзета-функция Римана.
