Так вот, очень важно понимать, что вполне упорядоченные бесконечные множества, имеющие равный размер, или мощность (то есть с одинаковыми кардинальными числами), могут иметь разную “длину”. Понять такое непросто, даже математику. Строго говоря, правильнее было бы сказать не “разную длину”, а “разные порядковые числа” (или “ординалы”
[42]), но для удобства будем оперировать знакомыми терминами. Возьмите множества {0, 1, 2, 3, 4, …} и {0, 1, 2, 4, …, 3}. Многоточие, стоящее в них после четверки, означает “и так далее до бесконечности”; правда, во втором случае после многоточия, в самом конце, стоит тройка. Оба множества содержат все натуральные числа, а значит, у них одинаковая мощность, или кардинальное число, – алеф-ноль. Но второе множество чуть длиннее. Поначалу это может показаться нелепостью: ведь если бы речь шла о конечных множествах, было бы очевидно, что {0, 1, 2, 3, 4} и {0, 1, 2, 4, 3} имеют одинаковую длину, поскольку оба содержат по пять элементов. Но бесконечные множества страшно обманчивы. У множества {0, 1, 2, 3, 4, …} нет конечного концевого элемента – многоточие требует идти дальше до бесконечности без остановок. С множеством {0, 1, 2, 4, …, 3} дело обстоит по-другому. Да, оно тоже содержит последовательность элементов, у которой нет конца. Но в него входит еще один элемент, стоящий после всех элементов бесконечной последовательности. Если просто изъять тройку, то последовательности 0, 1, 2, 3, … и 0, 1, 2, 4, … будут равны по длине; иными словами, каждому элементу первой можно противопоставить по одному элементу второй, и ничего лишнего не останется. А вот если ту же тройку переставить в самый конец, так чтобы она шла после бесконечной последовательности, тогда длина увеличивается на единицу. Посудите сами: в первом множестве {0, 1, 2, 3, 4, …} есть первый элемент (0), второй элемент (1), третий элемент (2), четвертый элемент (3) и так далее. Во втором тоже есть первый элемент (0), второй (1), третий (2), четвертый (4) и так далее. Но есть и еще один элемент, 3, который не является ни одним из предыдущих. Порядковый номер, который мы закрепляем за тройкой, – не ее числовое значение, а то место, на каком она стоит в множестве, – больше любого другого из идущих перед ней, поскольку она появляется после всех остальных элементов множества.
Для этого класса бесконечных чисел нам нужна какая-то особая система названий, отличная от алефов. Математики называют наименьшее бесконечное порядковое число, или ординал, – то есть самую короткую “длину” множества всех натуральных чисел – “омегой” (ω). Ординал множества {0, 1, 2, 4, …, 3}, где после всех остальных натуральных чисел стоит 3, на единицу больше и обозначается ω + 1. Иначе говоря, 3 – это (ω + 1) – й элемент множества {0, 1, 2, 4, …, 3}. Пусть вас не смущает знак “плюс” в этой записи: здесь он означает не привычное нам сложение, а то, что ординал ω + 1 следует за ω. К омеге можно что-то прибавить, но отнять от нее невозможно. Ординал множества {0, 1, 2, 4, …}, даже с изъятой тройкой, – все равно ω. Такого понятия, как ω – 1, просто не существует. Это может показаться странным, но только потому, что мы привыкли иметь дело с конечными числами. Невозможно уменьшить “длину” множества всех натуральных чисел, какое бы огромное конечное количество элементов вы из него ни изъяли, – в силу того простого факта, что это множество бесконечно, как следует из его записи: {0, 1, 2, 4, …}. С другой стороны, увеличить его “длину” совсем несложно – достаточно подставить изъятые из него элементы в конец.
Подведем итог: алеф-ноль и ω относятся к одному и тому же множеству – натуральных чисел. Алеф-ноль – это его размер (количество входящих в него элементов), а ω – его наименьшая длина. Эту длину можно увеличить, изъяв элементы с их обычного места и подставив в конец. Например, мощность, или кардинальное число, множества {2, 3, 4, …, 0, 1} – алеф-ноль, а его ординал, порядковое число, равно ω + 2. Можно продолжать и дальше увеличивать длину множества натуральных чисел, переставляя его элементы в самый конец, после многоточия, означающего “и так до бесконечности”: ω + 3, ω + 4, … вплоть до ω + ω (или ω × 2). В последнем случае множество можно записать, например, как подмножество всех четных чисел, за которым следует подмножество всех нечетных: {0, 2, 4, …, 1, 3, 5, …}, ведь каждое из них по длине равно ω. Затем можно снова продолжить переставлять элементы в конец; так, длину ω × 2 + 1 будет иметь множество {2, 4, …, 1, 3, 5, …, 0}. После этого мы можем перейти к степеням ω – ω2, ω3, … и далее, вплоть до ωω; потом – к возведению степени в степень, надстраивая все новые и новые “этажи” в “степенной башне” до тех пор, пока их количество не достигнет ω. Наконец, есть еще один уровень – ординал, названный Кантором “эпсилон-ноль” (ε0). Точно так же как ω является наименьшим из ординалов, следующих за конечными ординалами, ε0 – наименьший из ординалов, следующих за всеми теми, которые можно выразить с помощью ω и операций сложения, умножения и возведения в степень. Это врата в мир чисел эпсилон, такой же бесконечно большой, как мир ординалов омега. Весь процесс, только что описанный для омеги, повторяется для чисел эпсилон до тех пор, пока не будут исчерпаны все математические действия, которые можно к ним применить, включая построение степенной башни из эпсилонов и даже эпсилонов эпсилонов. Исчерпав их, мы оказываемся еще на одном новом уровне бесконечных ординалов, начинающемся с “дзета-нуля” (ζ0). И так продолжается до бесконечности…
Основная помеха на нашем дальнейшем пути – обозначение всех этих чисел. Буквы в греческом алфавите рано или поздно заканчиваются; есть свой предел и у всех остальных систем, используемых для обслуживания нескончаемой иерархии бесконечных ординалов. Помимо разработки более эффективной и компактной формы записи гигантских бесконечных ординалов есть и другие технические трудности. Оставив далеко позади дзета-ноль, на пути в бесконечность мы то тут, то там встречаем порядковые числа, увековечившие имена описавших их математиков: ординал Фефермана – Шютте, малый и большой ординалы Веблена (и тот и другой – чудовищно большие), ординал Бахмана – Говарда, ординал Чёрча – Клини (впервые описанный американским математиком Алонзо Чёрчем и его студентом Стивеном Клини). Чтобы толком рассказать про любой из них, потребуется отдельная книга – настолько сложные и запутанные расчеты лежат в их основе. Ординал Чёрча – Клини, например, столь непостижимо велик, что для него просто не существует способа обозначения.
Перечисленные ординалы редко встречаются даже в практике профессиональных математиков, не говоря уже о неспециалистах. Объединяет их то, что все они счетные. Другими словами, все бесконечные ординалы, о которых мы говорили до сих пор, начиная с ω, можно поставить в соответствие натуральным числам, один к одному, что логично, поскольку все эти последовательности – лишь результат перегруппировки тех же натуральных чисел. Иначе говоря, все эти множества имеют одинаковую мощность, или размер, – алеф-ноль. Какие из порядковых чисел ни возьми, хоть эпсилон-ноль, хоть даже непомерно большой ординал Чёрча – Клини, они ни на миллиметр не приблизят нас к “большей” бесконечности: ведь это просто разные способы упорядочивания натуральных чисел. Бо́льшая бесконечность – это та, что лежит за пределами алеф-нуля. Но как такое возможно?
