Семь мостов Кёнигсберга через реку Преголя.
Эйлер также открыл ставшую знаменитой формулу многогранников (трехмерных тел с плоскими многоугольными гранями): В – Р + Г = 2, где В, Р и Г – число вершин, ребер и граней соответственно. И опять-таки она имеет прямое отношение к топологии – ведь она оперирует свойствами геометрических тел, не зависящими от количественных измерений.
Еще одним пионером в области топологии стал Август Мёбиус, изучивший свойства перекрученной на пол-оборота и свернутой в кольцо ленты, которая сегодня носит его имя – несмотря на то, что его соотечественник Иоганн Листинг опубликовал результаты собственных исследований ее свойств на несколько лет раньше, в 1861 году. Если полоску бумаги перекрутить на 180 градусов, а затем склеить концы вместе, получится кольцо с односторонней поверхностью – это легко проверить, ведя карандашом посередине полосы линию, пока та не вернется в исходную точку. Пол-оборота, соединение краев – и бумажная полоска превращается в ленту Мёбиуса, объект, который в глазах тополога коренным образом отличается от простого кольца или открытого с двух сторон цилиндра
[53]. Любой разрыв в геометрическом теле или соединение вместе его концов превращает его в топологически новое тело. Отсюда следует еще одна особенность топологии: она хорошо подходит для описания внезапных скачкообразных изменений состояния системы – как обнаружили лауреаты Нобелевской премии по физике 2016 года.
Лента Мёбиуса: объект, который, будучи вложенным в трехмерное пространство, имеет только одну “сторону”.
В обычной геометрии все фигуры считаются жесткими и невзаимозаменяемыми. Квадрат – всегда квадрат, треугольник – всегда треугольник, и первый никогда не может превратиться во второй. Прямые линии обязаны оставаться идеально прямыми, а кривые – кривыми. В топологии же объекты вправе терять свою структурную жесткость и становиться эластичными, оставаясь при этом самими собой по сути, – при условии, что в них не делается разрезов и склеек. Квадрат, например, можно растяжением и сжатием превратить в треугольник, но с точки зрения топологии он останется самим собой: про такие фигуры говорят, что они гомеоморфны. Точно так же обе эти фигуры идентичны кругу (то есть “заполненной” окружности). Если говорить о трех измерениях, то куб гомеоморфен шару (“заполненной” сфере). Иными словами, поверхность куба топологически идентична поверхности сферы. А вот тор, или бублик, от сферы принципиально отличается: как бы вы их ни сжимали и ни растягивали, одинаковых фигур из них не получить.
Количество отверстий в объекте называется родом его поверхности. Сфера и куб имеют род 0, обычный тор – род 1, крендель (то есть двойной тор, с двумя отверстиями) – род 2 и так далее. Трехмерная топология может учитывать и более сложные факторы, скажем, структуру окружающего пространства, благодаря чему формируются узлы. Чтобы избежать путаницы, стоит сразу оговориться, что в теории узлов большинство известных нам узлов таковыми не считаются. Математический узел отличается от привычного нам узла на веревке или на шнурках ботинок тем, что его концы соединены вместе, так что развязать его невозможно.
Истинный узел удобно представить себе в виде окружности или любой другой замкнутой петли, обитающей в трехмерном евклидовом пространстве. Распутать его не поможет никакое растягивание и перекручивание. Единственный способ создать истинный (математический) узел из куска бечевки – это соединить его концы вместе, например склеить. Простейший узел, который можно получить с помощью этого метода, – тривиальный (или незаузленный) узел, то есть обычная петля. А вот дальше все становится сложнее.
Самый простой нетривиальный узел – это трилистник. Если вы попросите кого-то завязать кусок веревки узлом, а потом соедините свободные концы, чаще всего получится именно такой. Более сложные узлы – восьмерка и те, что состоят из нескольких простых: например, прямой (известный также как рифовый) или бабий узел. И прямой, и бабий узлы состоят из двух трилистников.
Узлами с точки зрения математики первым заинтересовался Карл Гаусс в 1830-х годах. Он придумал способ вычислить коэффициент зацепления – число, показывающее, сколько раз две замкнутые кривые в трехмерном пространстве обвивают друг друга. Зацепления, как и узлы, занимают в топологии центральное место. Математические узлы и зацепления встречаются и в природе, например, в электромагнетизме и квантовой механике, а также в биохимии.
Точно так же как есть тривиальный узел, существует и тривиальное зацепление: две отдельных, никак не соединенных друг с другом окружности. Узлы – это тоже зацепления, но простые, состоящие из одной окружности; а можно создать и более сложные, если взять не одну окружность, а больше. Зацепление Хопфа, состоящее из двух однократно зацепленных окружностей, названо в честь немецкого тополога Хайнца Хопфа, хотя Гаусс изучал его на целое столетие раньше, а в изобразительном искусстве и символике оно встречалось и задолго до того. Основанная в XVI веке японская буддийская секта Бузан-ха использовала его в своем гербе. Любопытнее кольца Борромео, состоящие из трех окружностей. Необычно (и на первый взгляд кажется невозможным) в них то, что, хотя ни одно из колец не сцеплено ни с одним другим, все вместе они сцеплены: если удалить любое из трех, оставшиеся два легко разъединяются. Название колец происходит от фамилии знатной итальянской семьи Борромео, использовавшей их в своем гербе, однако сам символ уходит корнями в глубокую древность. На артефактах викингов он имеет вид трех сцепленных треугольников, известных как валькнут (что означает “узел павших”) или треугольник Одина. Тот же узор встречается и в различных религиозных контекстах, в том числе в убранстве старинных христианских храмов, где он символизирует Святую Троицу.
Узлы и зацепления нашли даже в само́й химии жизни. Белки хорошо известны своей способностью сворачиваться в определенные формы, которые определяют то, как они функционируют в биологических системах. Совершенно неожиданно для себя в середине 1990-х годов биологи открыли, что белки могут образовывать узлы и даже сцепленные кольца. Нам, чтобы завязать любой, пусть даже самый простой, узел, нужно целенаправленно продевать свободный конец веревки в петлю. Непонятно было, каким образом белки способны не только спонтанно осуществлять самосборку, но еще и умудряться завязываться при этом в узлы. Собственно, при построении большинства математических моделей, предсказывающих результат сворачивания белков на основании затрачиваемой энергии, образование любых структур, имеющих форму узлов, заведомо исключалось – настолько невозможным это казалось. Ученым еще только предстоит разобраться, как в белках образуются узлы – и зачем.
