На этот раз автором доказательства был не кто иной, как Леонардо да Винчи. Джорджо Вазари (1511–1574) пишет в «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» (1550), книге о великих художниках, что Леонардо изучал математику всего несколько месяцев, но и за такое короткое время сумел стать специалистом в этой области. Точно так же Леонардо не посвящал много времени изучению музыки, и тем не менее подобно Пифагору любил петь, аккомпанируя себе на лютне. Есть много других предметов, которыми Леонардо занимался лишь недолгое время и тем не менее освоил настолько, что научился применять их даже лучше, чем те, кто затратил на их изучение много времени и сил.
Уверен, что никто не удивится, если я скажу, что основную идею доказательства да Винчи легко можно понять из чертежа.
Как Леонардо да Винчи пришел к этому чертежу? Где именно таится в нем доказательство? Я дам вам время немного поупражнять мозг, размышляя над этой задачей.
3
Тайная жизнь простых чисел
«Эврика» Евклида
В предыдущей главе, в которой мы познакомились с Пифагором, нам встретились треугольные числа, квадратные числа и даже пятиугольные числа. Однако мы совсем не говорили о числах прямоугольных. Почему же?
Эти числа не столь интересны потому, что встречаются они слишком часто. Любое число, которое делится без остатка на другое, меньшее, число, можно представить в виде прямоугольника. Вот, например, всего лишь два представления одного такого числа:
Гораздо интереснее искать числа, которые нельзя представить в виде прямоугольника; точнее говоря, числа, которые делятся только на единицу и само на себя. Например, число 17.
Не существует никакого способа составить из клеток прямоугольник, отличающийся от показанного ниже.
Число называется простым, если у него есть ровно два разных делителя – единица и само это число. Числа, не являющиеся простыми, называют составными. Вот несколько первых простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… Их список продолжается и дальше. Если вы внимательно прочитаете определение простого числа, вы поймете, почему в этот список не входит число 1.
Простые числа – это кирпичики, из которых строится вся популяция чисел, так как любое составное число может быть представлено одним, и только одним, способом в виде произведения простых чисел, причем любое простое число может входить в это произведение более одного раза.
Например: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3².
Тем, кто не считает себя членом сообщества математиков, тот факт, что любое число может быть представлено в виде одного, и только одного, произведения простых сомножителей, кажется совершенно очевидным. Однако для математиков этот факт не вполне ясен: им приходится его доказывать. Не следует, однако, обвинять математиков в излишней педантичности; в прошлом было такое множество положений, которые казались «совершенно очевидными», а потом оказались – и это было доказано – ложными, что математики категорически решили, что любое и каждое утверждение должно быть подтверждено доказательством. Можно предположить, что сложение множества нулей непременно дает нуль, но, как вы увидите далее в этой книге, сумма нулей не всегда бывает равна нулю, а если уж нельзя доверять нулям, то кому вообще можно доверять?
Но я отвлекся. Вернемся к теме простых чисел.
Первое, что мы можем спросить, завязывая с простыми числами отношения, которые мы собираемся заботливо развивать, это: «Сколько всего существует простых чисел?»
Ответ на этот вопрос первым нашел греческий математик Евклид, отец теоретической геометрии. С Евклидом знаком любой, кто изучал геометрию, – где бы и когда это ни происходило. Все мы заучивали постулаты (аксиомы) Евклида: что через любые две точки можно провести одну, и только одну, прямую или что две параллельные прямые никогда не пересекаются. Собственно говоря, классическая геометрия носит его имя – она называется евклидовой геометрией. И, хотя Евклид разрабатывал свою геометрию более 2000 лет назад, ее до сих пор преподают в точности так, как он ее записал. Можно ли представить себе, чтобы биологию, или химию, или физику преподавали, используя только знания, полученные более 2000 – или даже 200 – лет назад?
Евклидова геометрия оказала сильнейшее влияние на лучшие умы человеческой цивилизации, одним из которых был величайший из философов, Барух Спиноза. Евклидовы методы построения геометрии на основе аксиом и базовых концепций настолько впечатлили Спинозу, что он применил этот подход в главной своей работе, «Этике». Разумеется, Спиноза не говорит в своей книге о точках и прямых. Он рассуждает о концепции Бога и о месте человека в мироздании. Но для представления своих доводов он использует чисто евклидовские методы: Спиноза излагает основополагающие концепции, формулирует конкретные аксиомы, а затем использует их для доказательства теорем. Более того, главное произведение Спинозы называется в латинском оригинале Ethica ordine geometrico demonstrata (хотя эту книгу часто называют просто «Этикой»; точный перевод латинского названия – «Этика, доказанная в геометрическом порядке»).
Но вернемся к Евклиду. Прежде чем мы посмотрим его ответ на вопрос «сколько существует простых чисел?», давайте немного подумаем самостоятельно.
Прежде всего нам необходимо определить, конечно или бесконечно количество простых чисел.
Если их количество конечно, то каково самое большое простое число?
Если же простых чисел бесконечно много, можно ли это доказать?
Можно ли представить себе, что некое действительно огромное, необычайно большое число не делится нацело ни на что, кроме единицы и самого себя, и, следовательно, считается простым числом?
Существует ли формула, которую можно использовать для получения всех простых чисел?
ТЕОРЕМА ЕВКЛИДА
Существует бесконечно много простых чисел.
Я приведу два доказательства этой теоремы. Одно из них кратко и подчеркивает красоту великой идеи Евклида. Второе доказательство, по сути, сводится к тому же, но оно длиннее и помогает подробно объяснить более краткое доказательство.
Короткое доказательство
Предположим, что ряд 2, 3, 5, 7, 11, …, P – это полный список простых чисел вплоть до некоторого простого числа P.
