Внимательно изучив первую часть той книги, которую вы держите в руках, вы можете заметить, что главная ее героиня – «бесконечность»: царство чисел есть царство бесконечное; и многие, а может быть, и большинство из ее загадок и секретов связаны, прямо или косвенно, с концепцией бесконечности.
Математика – наука бесконечности.
Герман Вейль
6
Царство бесконечности Георга Кантора: Теория множеств
Любовь с третьего урока
Предметом, который больше всего увлекал меня на первом курсе математического факультета университета, была теория множеств. Это название не кажется особенно привлекательным и даже приблизительно не описывало того, что изучалось в этом курсе. Начало не предвещало ничего хорошего: поразительно скучные определения, аксиомы и соотношения. Но уже через два занятия я понял, что этот курс на самом деле должен называться теорией бесконечных множеств, потому что речь в нем идет именно о бесконечном, с демонстративным пренебрежением к завету Галилео Галилея, призывавшего этим не заниматься. Кроме того, обсуждение бесконечности не было затемнено какими-либо метафизическими или теологическими соображениями – а я уже был знаком с такими взглядами, и некоторые из них – например антиномии Канта, концепции Николая Кузанского или мировоззрение Джордано Бруно (на которого Николай Кузанский оказал большое влияние) – меня весьма вдохновляли. Но теперь все было совсем по-другому, и я чувствовал, что передо мной разворачивается нечто не похожее ни на что из того, что я знал раньше. У меня было предчувствие, что мне откроется нечто чудесное.
В лекциях по теории множеств и ее главному герою, бесконечности, в высшей степени увлекательных и интригующих, которые читал мой ныне покойный учитель Мордехай Эпштейн (я чрезвычайно благодарен ему), эта тема раскрывалась в очень точной, чисто математической манере. Внезапно я узнал, что можно сравнивать разные виды бесконечности: что бывают бесконечности бо́льшие и бесконечности меньшие; более того, существует бесконечный спектр бесконечностей! Я был заворожен.
Кто же был тот удивительный человек, настолько близко знакомый с бесконечностью, что он умел распознавать и различать разные ее виды? Этим человеком был Георг Кантор, и теорию множеств, которую он разработал, часто называют в его честь канторовой теорией множеств.
Георг Кантор – человек, видевший бесконечность
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился в 1845 г. в Санкт-Петербурге. Его научная карьера началась в 1862 г. в Цюрихском университете. Год спустя, когда по смерти отца ему досталось весьма солидное наследство, Кантор перевелся в Берлинский университет, где изучал математику, физику и философию. Лето 1866 г. Кантор провел в Гёттингенском университете, который был в то время главным математическим центром (и оставался таковым вплоть до Второй мировой войны). В 1867 г. Кантор получил в Берлинском университете докторскую степень за работу по теории чисел. Некоторое время он преподавал в этом же городе в школе для девочек, а затем начал работать в Университете города Галле, где и оставался до последних лет жизни. В 1872 г. Кантор познакомился с Рихардом Дедекиндом, и это знакомство положило начало их личной и профессиональной дружбе.
В 1874 г. в жизни Кантора произошли два важных события. Первое – он женился, и этот брак впоследствии дал миру шестерых детей. Вторым событием была публикация его революционной статьи о бесконечных множествах под названием «Об одном свойстве совокупности всех вещественных алгебраических чисел» (Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen)
[38]. Ее название не очень-то понятно, и мне кажется, что даже перевод с немецкого не слишком помогает вам осознать, о чем эта статья. Тем не менее нет никаких сомнений, что именно она положила начало изучению теории множеств и в течение 25 лет оставалась краеугольным камнем этой дисциплины.
В этой статье была впервые высказана мысль о том, что может существовать более одного типа бесконечности. Она была опубликована несмотря на острую критику Леопольда Кронекера (1823–1891), бывшего учителя Кантора и чрезвычайно влиятельного в свое время математика. Кантор не нравился Кронекеру ни с личной, ни с профессиональной точки зрения. Дело дошло даже до прямых оскорблений: Кронекер называл его «математическим шарлатаном» и «растлителем молодежи» (тут невозможно не вспомнить, что так же некогда называли и Сократа – в этом можно было увидеть благое предзнаменование).
Я не знаю, чего в теории Кантора больше – философии или богословия, – но уверен, что математики в ней нет.
Леопольд Кронекер
Понятия не имею, почему Кронекер вздумал обвинять Кантора в том, что тот ввел в обсуждение математики богословие, учитывая, что самое знаменитое высказывание Кронекера как раз и касается высших существ:
Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих.
Кронекер был не единственным критиком Кантора. Французский математик Пуанкаре, который, если вы помните, высмеивал апории Зенона и всех тех, кто ими занимается, тоже был ярым противником идей Кантора. Пуанкаре считал мысли Кантора болезнью, заражающей настоящую математику. Шведский же математик Магнус Густав Миттаг-Леффлер (1846–1927) ценил идеи Кантора, но полагал, что они опередили свое время и должны быть обнародованы веком позже. На это Кантор ответил, что, по его мнению, призывать ждать целых сто лет значило бы «требовать слишком многого». Кантор очень остро переживал критику, направленную против него самого и его теории. В 1884 г. он перенес первый приступ сильной депрессии.
Существует «городская легенда», утверждающая, что именно из-за Миттаг-Леффлера не существует Нобелевской премии по математике. Ее рассказывают по-разному: то ли Нобель был влюблен в жену Миттаг-Леффлера, то ли любовница Нобеля изменила ему с Миттаг-Леффлером, то ли Магнус Густав был просто неприятен Альфреду Нобелю по личным причинам.
Для борьбы с этим эмоциональным кризисом Кантор использовал совершенно уникальный метод, по-видимому, подходивший такому особенному человеку, каким был он: он решил временно оставить математические исследования и сосредоточился вместо этого на литературе Елизаветинской эпохи. Он потратил на работу в этой области много времени и сил и пытался обосновать гипотезу, утверждающую, что работы, которые приписываются Уильяму Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бекон. В 1896 и 1897 гг. Кантор даже написал две статьи на эту тему.
Я в бесконечной книге тайн природыМогу читать отчасти
[39].
Уильям Шекспир
Работа над Шекспиром помогла Кантору оправиться, и он вернулся к своему истинному призванию – теме бесконечности. В 1891 г. он опубликовал статью, в которой предложил восхитительно изящную концепцию, которая называется теперь диагональным методом Кантора (мы вскоре рассмотрим этот метод).
