Этот метод – то есть перечисление всех элементов – оказывается не слишком подходящим для определения, скажем, множества всех четных чисел. Поэтому при определении множества можно применять другой прием – использовать многоточие. Тогда мы сможем определить множество четных чисел: E = {2, 4, 6, 8…}. Однако «правило», обозначенное многоточием, не всегда бывает ясным и общепонятным. Посмотрите, например, на следующее множество: T = {1, 3, 6, 10, 15…}. Это множество треугольных чисел (дополнительную подсказку дает буква, выбранная для обозначения этого множества). Но это может быть очевидно не всем. Впрочем, даже те, кто не знаком с концепцией треугольных чисел, могут догадаться, как продолжить этот ряд.
Но так бывает не всегда. Вот еще один пример: F = {1, 3, 9, 33, 153…}. Какие значения должны стоять на месте многоточия? Вы догадались?
Вот ответ:
1! = 1;
1! + 2! = 3;
1! + 2! + 3! = 9;
1! + 2! + 3! + 4! = 33;
1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153.
Следовательно, следующее число будет
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 873
и так далее.
Множество также можно определить, задав общее свойство, определяющее его элементы. Например, «множество всех бывших и действующих игроков NBA», «множество всех атомов во Вселенной», «множество простых чисел», «множество счастливых людей», «множество всех четных чисел, которые невозможно представить в виде суммы двух простых чисел», «множество чисел, больших самих себя», «множество борцов сумо, которые весят более 250 килограммов», «множество всех фильмов, поставленных Андреем Тарковским», «множество всех стихотворений, написанных Арсением Тарковским» (поэт Арсений Тарковский был отцом великого русского кинорежиссера Андрея Тарковского) и так далее.
Как, вероятно, уже поняло большинство читателей, множество обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита – A, B, C, D…
Символ ∈ означает принадлежность к множеству. Например, если мы обозначим буквой F множество всех фильмов, поставленных Феллини, то можно написать «Амаркорд» ∈ F. Если этот символ перечеркнут, он означает, что данный элемент не принадлежит к множеству. Например, «Аватар» ∉ F.
В теории множеств Кантора любой объект либо принадлежит, либо не принадлежит к определенному множеству. Но задумайтесь на мгновение о множестве, скажем, высоких людей: определить принадлежность к этому множеству будет не так-то легко. В 1965 г. американский математик и информатик еврейского происхождения
[41] Лоттфи А. Заде (1921–2017) предложил более гибкий подход к множествам, который он назвал теорией нечетких множеств. Основополагающая концепция теории нечетких множеств состоит в том, что каждому объекту можно присвоить вероятность принадлежности к любому конкретному множеству, которая может составлять от 0 (точно не принадлежит) до 1 (точно принадлежит). Например, у Наполеона и Дэнни Де Вито вероятность принадлежности к множеству высоких людей равна 0
[42], а у Леброна Джеймса эта вероятность равна 1, в то время как автор этой книги может принадлежать к множеству высоких людей с вероятностью около 0,07.
Я впервые познакомился с теорией нечетких множеств, когда мне попалась книга Барта Коско «Нечеткое мышление» (Fuzzy Thinking, Hyperion, 1993). Эта книга полюбилась мне с первой же строчки: «Однажды я узнал, что наука неверна». Главная мысль этой книги, которую автор блестяще защищает на протяжении всех ее 300 страниц, состоит в том, что в мире нет ничего черного и белого. На самом деле все существует в разных оттенках серого. Всё может быть абсолютно определенно только в классической математике, но классическая математика не способна достоверно описать мир.
Вот слова человека, выразившего эту же идею гораздо лучше, чем удается мне:
Законы математики, имеющие отношение к реальности, не несомненны; если же они несомненны, они не имеют отношения к реальности. Математика, описывающая реальность, не несомненна, а когда математика несомненна, она не описывает реальности.
Альберт Эйнштейн
Вернемся, однако, к канторовой теории множеств.
Сколько элементов содержится в множестве всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел? Я надеюсь, что вы помните гипотезу Гольдбаха, которая утверждает, что таких чисел не существует. Другими словами, в этом множестве нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается вот так: Ø.
Можно сказать, что множество всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел, с очень высокой вероятностью может быть пустым множеством, но абсолютной уверенности в том, что это действительно так, у нас нет. А вот множество чисел, которые больше самих себя, и множество ежей, говорящих на идиш, совершенно точно пусты.
Ну хорошо; может быть, и можно проявлять некоторую гибкость относительно того, входит ли тот или иной элемент в то или иное множество, – как это делается в теории нечетких множеств, – но до сих пор мы не встречали ничего особенно необычного, что не позволило бы нам определить множество как некий набор элементов. Более того, я должен отметить, что подобное же определение дал концепции множества и сам Кантор.
Однако в мире математики нет почти ничего действительно простого и самоочевидного – есть только кажущееся таковым на первый взгляд.
«Очевидно» – самое опасное слово в математике.
Э. Т. Белл
Оказывается, в таком интуитивном определении множества – как некоего набора элементов – есть несколько скрытых проблем. В качестве примера я расскажу о неприятности, которая случилась с немецким математиком, логиком и философом Готлобом Фреге (1848–1925).
В 1902 г. Фреге собирался опубликовать второй том своей монументальной работы под названием «Основные законы арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik), в которой он показывал, как можно воссоздать правильную арифметику исходя из заложенного Кантором основания теории множеств и используя только наивное определение множества по Кантору. Но 16 июня Фреге почувствовал, что весь его труд грозит развалиться на части: он получил от Бертрана Рассела письмо, в котором тот изложил сформулированный им парадокс, ставший с тех пор чрезвычайно знаменитым. Он известен как «парадокс Рассела» или «антиномия Рассела».
Брить или не брить – парадокс Рассела
Парадокс Рассела существует во многих вариантах, но наиболее известен в формулировке так называемого «парадокса брадобрея».
