Итак, получается, что ℵ0 + ℵ0 = ℵ0. Собственно говоря, мы не открыли ничего нового: мы уже знали, что объединение двух счетных множеств также является счетным множеством.
Но тут нужна осторожность! Не следует увлекаться и думать, что к бесконечным значениям можно применять все правила обычной математики. Например, хотя ℵ0 + ℵ0 = ℵ0, мы не можем вычесть из обеих частей этого равенства по ℵ0, потому что тогда мы получили бы бессмысленное и, честно говоря, довольно нелепое выражение ℵ0 = 0! Поэтому следует помнить, что обращение с бесконечными значениями требует некоторой осмотрительности.
Операцию умножения также можно описать в применении к множествам. Когда мы умножаем натуральное число n на m, эта операция на самом деле представляет собой обычное сложение n с самим собой, произведенное m раз, то есть n + n + + … + n = n · m. Преобразуем этот же принцип для множеств: если у нас есть два множества А и В, мы возьмем «В экземпляров» А в том смысле, что к каждому элементу b множества В мы прибавим экземпляр множества А. Например, если A = {Q, W, E, R, T}, а B = {17, 21, 33}, то произведением этих множеств будет объединение экземпляра множества А для числа 17, экземпляра А для 21 и экземпляра А для 33. Это можно записать следующим образом:
A × B ={< Q,17 >,< W,17 >,< E,17 >,< R,17 >,< T,17 >}∪{< Q,21 >,< W,21 >,< E,21 >,< R,21 >,< T,21 >}∪{< Q,33 >,< W,33 >,< E,33 >,< R,33 >,< T,33 >}.
Множество A × B содержит 15 элементов, что точно соответствует произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В. Но для случая бесконечных множеств мы теперь можем утверждать, что ℵ0 · ℵ0 = ℵ0. Опять же это всего лишь выражение того уже известного нам факта, что отель Гильберта может вместить счетное число счетных множеств.
Тем не менее, если поиграть немного с арифметическими операциями для бесконечных множеств, можно получить кое-какие небезынтересные результаты.
1. Из того, что ℵ0 + ℵ0 = ℵ0, следует, что ℵ0 + n = ℵ0 для любого конечного числа n. Это связано с тем, что ℵ0 ≤ ℵ0 + n ≤ ℵ0 + ℵ0 = ℵ0.
2. Если взять отрезок [0,1], мощность которого равна ℵ, и прибавить его к отрезку (1,2], мощность которого также равна ℵ, мы получим отрезок [0,2], мощность которого, как и мощность всех отрезков, равна ℵ. Таким образом, получаем ℵ + ℵ = ℵ. Обратите внимание на круглую скобку в начале обозначения отрезка (1,2]. Она означает, что точка «1» не включена в множество. Число 1 исключено из него, чтобы два множества были заведомо непересекающимися.
3. Мы показали, что бесконечный луч имеет мощность ℵ. Бесконечный луч можно представить в виде счетного объединения бесконечного количества множеств, образованных непересекающимися отрезками: [0,1], (1,2], (2,3], (3,4], (4,5]… Следовательно, ℵ · ℵ0 = ℵ.
4. Если существует кривая, заполняющая квадрат, из этого следует, что ℵ · ℵ = ℵ. Чтобы убедиться в этом, представьте себе квадрат как сочетание горизонтальных отрезков прямых. Это означает, что квадрат – это, по сути, ℵ экземпляров отрезка, то есть ℵ экземпляров ℵ. Кривая же – это просто изогнутая прямая, так что ее мощность равна ℵ. То, что квадрат можно заполнить кривой, означает, что ℵ · ℵ = ℵ. Отрезок прямой [0,1] имеет такую же мощность, как и квадрат.
На самом деле совсем не трудно доказать, что отрезок прямой [0,1] имеет такую же мощность, как квадрат, напрямую. Рассмотрим изображенный выше единичный квадрат.
Выберем произвольную точку внутри квадрата. Предположим, что эта точка имеет координаты X = 0,a1a2a3a4… и Y = 0,b1b2b3…
Тогда на отрезке [0,1] можно найти точку Z, такую, что Z = 0,a1b1a2b2a3b3… Можете убедиться самостоятельно, что такое отображение будет одно-однозначным и сюръективным.
Вот небольшая сводка наших результатов:
ℵ = ℵ + n
ℵ = ℵ + ℵ0
ℵ = ℵ + ℵ
ℵ = n · ℵ
ℵ = ℵ0 · ℵ
ℵ = ℵ · ℵ
Другими словами, все перечисленные выше кардинальные числа равны друг другу!
Что же все это означает? В мире бесконечности слагаемые, сомножители и равенства ведут себя совершенно по-другому.
Множество Кантора
Кроме того, Кантора интересовал следующий вопрос: существует ли пример множества с мощностью ℵ, не содержащего отрезка прямой? Такой пример существует и носит его имя: множество Кантора. Вот как оно строится:
Разделим отрезок прямой [0,1] на три равные части и удалим средний отрезок, оставив только его конечные точки. У нас останутся отрезок [0, ⅓] и отрезок [⅔,1].
Произведем аналогичную операцию еще раз: разделим каждый из двух отрезков на три равные части и удалим средние участки, оставив их конечные точки. Будем повторять ту же процедуру (деление на три и удаление средних участков) для каждого из меньших отрезков, полученных после деления отрезков [0,⅓] и [⅔,1], снова и снова, до бесконечности.
Множество всех точек, образующихся во всех множествах после бесконечно многократного повторения этой процедуры, называется множеством Кантора. Например, элементом множества Кантора является 0. Это множество обладает многими интересными свойствами, относящимися не только к теории множеств, но и к топологии, измерениям и геометрии.
У множества Кантора есть и более точное описание. Поскольку каждый отрезок делится каждый раз на три части, удобно использовать для него троичное представление (то есть представление чисел, в котором используются только цифры 0, 1 и 2). Записывать числа в троичном представлении совсем не сложно.
