Ситуация становится гораздо более сложной, когда игра идет на доске, количества строк и столбцов на которой не равны; однако и в этом случае можно доказать, что для начинающего партию игрока существует выигрышная стратегия. К сожалению, доказательство не уточняет, в чем именно эта стратегия заключается. Математики называют такие доказательства «неконструктивными доказательствами существования».
И наконец, выполним упражнение.
Найдите выигрышную стратегию для первого игрока в игре на прямоугольной доске размером 2 × N (2 строки, N столбцов).
Подсказка: Чтобы получить симметричную позицию, как на квадратной доске, нужно прийти к положению, в котором незанятой останется только клетка с ядом или еще две клетки – одна над ядом и одна справа от него.
А теперь, когда вы (я надеюсь) решили эту задачу, что, по-вашему, произойдет, если на доске будут две строки и бесконечное количество столбцов? Кто выиграет теперь? Бесконечность – злостный нарушитель правил!
1
Чудесный мир чисел: Пифагор
Человек и легенда
Я впервые услышал о Пифагоре, когда учился в 4 классе и записался в математический кружок – на внешкольные занятия, предназначенные для тех странных детей, которые любят проводить свое свободное время, изучая необычные геометрические фигуры и завязывая отношения с числами, в которых скрываются загадочные секреты. Мне нравилось даже произносить само это имя: Пи-фа-гор. Мне сразу же показалось, что человек с таким необычайно звучащим именем и сам должен быть личностью необыкновенной. И я не ошибся. Многие считают Пифагора (ок. 570 – ок. 495 г. до н. э.) одним из самых интересных философов досократовской эпохи. Еще «отец истории» Геродот (ок. 485 – ок. 425 г. до н. э.) называл Пифагора одним из величайших философов Древней Греции. Даже Гераклит (ок. 535 – ок. 475 г. до н. э.), философ чрезвычайно спесивый, сетовавший на глупость всего человечества (за исключением, разумеется, самого себя), признавал, что Пифагор свое дело знает.
Найти какие-либо достоверные факты о жизни Пифагора нелегко, главным образом потому, что источники, рассказывающие о нем, написаны по большей части уже после его смерти. Сам Пифагор, по-видимому, писал мало – если вообще что-то писал. Однако Диоген Лаэртский
{5}, автор книги «О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов» (сборника биографий всех великих греков), называет три работы, написанные Пифагором: «О воспитании», «О государстве» и «О природе». Однако так считает практически он один: другие историки в большинстве своем утверждают, что эти книги написаны не Пифагором.
Кстати говоря, многие великие люди так никогда и не удосужились приложить перо к пергаменту: взять хотя бы Сократа, Будду и Иисуса. Жаль только, что никто не сделал для Пифагора то же, что Платон сделал для Сократа, записав его диалоги.
Из всех биографий Пифагора я больше всего люблю две. Одну написал философ-неоплатоник и математик Порфирий (ок. 234 – ок. 305), а вторую – Диоген Лаэртский. Биографии эти лихорадочно хаотичны, изумительно неточны и переполнены противоречиями, что делает их в высшей степени интересными и оставляет огромный простор воображению.
О Пифагоре существует множество легенд. Кое-кто верил, что он сын бога Аполлона. Рассказывали, что его видели в одно и то же время в четырех разных местах. Отметим, однако, что у Диогена в конце жизнеописания Пифагора есть сенсационное заявление, что на самом деле людей по имени Пифагор было четверо
[7]. В таком случае одновременное наблюдение четырех «Пифагоров» в четырех разных местах не кажется невероятным. Некоторые клялись, что Пифагор был двух с половиной метров ростом. Другие утверждали, что Пифагор был превосходным кулачным бойцом, ни разу не проигравшим поединка, а отдыхая между боями, он любил играть на лире, распевая стихи из поэм Гомера и Гесиода. Были даже такие, кто заявлял, что пение Пифагора исцеляет недуги. Интересно отметить, что и Порфирий, и Диоген рассказывают одну и ту же историю: якобы однажды, когда философ прогуливался вдоль реки, река приветствовала его словами: «Здравствуй, Пифагор…»
Отметим также и «скромность» Пифагора:
Есть боги, есть люди, а есть Пифагор
{6}.
По словам Диогена Лаэртского (если мы ему верим), сам Пифагор никогда не упускал возможности еще более сгустить ту необычайную загадочность, которая окружала его образ. Например, он любил рассказывать о своих «прошлых жизнях», с гордостью демонстрируя, что помнит их до мельчайших подробностей. Так, он вспоминал, что был великим воином Евфорбом и участвовал в Троянской войне. Говорил он и о нескольких менее зрелищных предыдущих жизнях – например, он был успешным купцом, служил при царском дворе, был животным и даже листом на дереве. Откуда Пифагор все это знал? Однажды он повстречал Гермеса, посланца и глашатая греческих богов, и произвел на него, по словам самого Пифагора, такое впечатление, что тот предложил нашему герою любой дар, какого он только пожелает, кроме дара бессмертия. Пифагор решил попросить способность помнить все свои прошлые перерождения. Просите – и дастся вам!
[8]
Философ-монотеист и поэт Ксенофан (ок. 570 – ок. 475 г. до н. э.) рассказывает, что однажды Пифагор увидел, как некто бьет собаку, и потребовал немедленно прекратить избиение – потому что в собаку вселилась душа его недавно умершего друга. Я надеюсь, что тот человек послушал его, потому что в рассказах о том, что Пифагор был выдающимся кулачным бойцом, возможно, и была доля правды.
Пифагор любил розыгрыши. Однажды он исчез довольно надолго. Потом снова появился в городе исхудавшим до предела – кожа да кости. Он объяснял всем, что был в стране мертвых, и не только рассказывал истории о том, что он «видел» среди усопших, но и рассуждал о событиях, случившихся с еще живыми за время его отсутствия. Как ему это удалось? Очень просто. Все это время он прятался в доме своей матери, придерживаясь диеты, которая подошла бы современной топ-модели. Мать держала его в курсе текущих событий, а что до происшествий в мире мертвых – тут он, разумеется, мог рассказывать все, что взбредет ему в голову. Кто бы мог проверить его сведения?
Несмотря на все вышеизложенное, у нас есть несколько бесспорных фактов о Пифагоре. Вот они.
Пифагор родился приблизительно в 570 г. до н. э. на острове Самос. Когда ему было сорок лет, Поликрат стал «тираном Самоса»
[9], и Пифагор бежал с острова, чтобы не оставаться под его властью. Он обосновался в городе Кротоне на юге Италии и основал там Пифагорейский союз. В нем было три отделения – политическое, математическое и теистическое. Утверждается, что в момент наивысшего расцвета в союзе состояло около 300 членов.
